Дубль-специальная теория относительности

Двойная специальная теория относительности (ДСОР) является обобщением классической специальной теории относительности (СТО), разработанной Эйнштейном, с введением второго инварианта — минимальной длины, обычно связываемой с планковской длиной lP ∼ 1, 616 ⋅ 10−35 м, наряду с инвариантом скорости света c. Основная мотивация ДСОР заключается в попытке описать эффекты квантовой гравитации на малых масштабах, где классическая СТО перестает быть точной из-за флуктуаций пространства-времени.

Ключевые постулаты

  1. Скорость света является предельной величиной для всех наблюдателей и инвариантна относительно преобразований Лоренца:

    c = const.

  2. Введение второго инварианта — планковской длины или энергии, которая остается неизменной при преобразованиях между инерциальными системами:

    $$ l_P = \sqrt{\frac{\hbar G}{c^3}} \quad \text{или} \quad E_P = \sqrt{\frac{\hbar c^5}{G}}. $$

    Этот постулат ограничивает непрерывность пространства-времени и вводит дискретность на ультракоротких масштабах.

Модифицированные преобразования Лоренца

В ДСОР обычные преобразования Лоренца заменяются нерелятивистскими преобразованиями, сохраняющими оба инварианта:

$$ x' = \frac{x - v t}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} \left( 1 + \alpha \frac{E}{E_P} \right), \quad t' = \frac{t - \frac{v}{c^2} x}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} \left( 1 + \beta \frac{E}{E_P} \right), $$

где α и β — параметры, определяемые конкретной реализацией ДСОР, а E — энергия частицы. В пределе E ≪ EP преобразования сводятся к стандартным законам СТО.

Дисперсионные соотношения

Одним из центральных результатов ДСОР является модификация дисперсионного соотношения для частиц:

$$ E^2 = p^2 c^2 + m^2 c^4 \left( 1 + \eta \frac{E}{E_P} + \dots \right), $$

где η — безразмерный параметр, определяющий характер квантово-гравитационных поправок. Для фотонов m = 0 и появляется энергия-зависимая скорость света:

$$ v(E) \approx c \left( 1 - \eta \frac{E}{E_P} \right). $$

Это может привести к наблюдаемым эффектам рассеяния гамма-всплесков или задержкам высокоэнергетических фотонов при прохождении космических расстояний.

Геометрия пространства-времени в ДСОР

В рамках ДСОР пространство-время приобретает нериманову структуру с энергозависимой метрикой, что формально выражается через двойные метрики (rainbow metrics):

$$ ds^2 = -\frac{c^2 dt^2}{f^2(E/E_P)} + \frac{dx^2 + dy^2 + dz^2}{g^2(E/E_P)}, $$

где функции f(E/EP) и g(E/EP) описывают энергетическую деформацию метрики. В пределе низких энергий f, g → 1, и метрика возвращается к стандартной Минковской.

Влияние на кинематику и динамику частиц

Модификация преобразований Лоренца и дисперсионных соотношений приводит к нескольким ключевым эффектам:

  1. Ограничение максимальной энергии частиц: Энергия не может превышать планковскую величину EP.
  2. Изменение порогов ядерных и фотонных реакций: Например, порог для образования e+e− при столкновении высокоэнергетических фотонов может сдвигаться.
  3. Энергозависимые траектории частиц: Влияние на космологические лучи и наблюдения гамма-всплесков.

Связь с квантовой гравитацией

ДСОР рассматривается как эффективная теория, которая описывает первые квантовые поправки к СТО, возникающие на планковских масштабах. Ключевые аспекты:

  • Пространство-время становится “пористым” или дискретным на масштабе lP.
  • Энергетические деформации метрики отражают флуктуации квантовой геометрии.
  • Существуют предложения связать ДСОР с подходами Loop Quantum Gravity и квантовой группой κ-деформации Пуанкаре.

Математические структуры

ДСОР активно использует:

  1. κ-Пуанкаре алгебру, где деформируются коммутаторы генераторов Лоренца и сдвиги:

$$ [N_i, P_j] = i \delta_{ij} \left( \frac{1 - e^{-2 P_0 / \kappa}}{2} + \frac{\vec{P}^2}{2\kappa} \right) - \frac{i}{\kappa} P_i P_j $$

  1. Энергозависимые канонические преобразования, которые обеспечивают непрерывность предельной теории СТО.
  2. Дискретные спектры операторов длины и времени, аналогичные результатам квантовой геометрии.

Экспериментальные тесты

На сегодняшний день ДСОР проверяется в основном через астрофизические наблюдения:

  • Гамма-всплески (GRB): возможная энергия-зависимая задержка фотонов.
  • Высокоэнергетические космические лучи: изменение порогов столкновений.
  • Лабораторные эксперименты на ускорителях: поиск малых нарушений симметрий Лоренца.

Точные измерения пока не подтверждают значимых отклонений от СТО, но устанавливают верхние пределы на параметры η, α, β.

Оглавление