Эффект Казимира является проявлением квантовой природы вакуума, который в классической физике считается пустым пространством. В квантовой теории поля вакуум представлен как состояние с минимальной энергией, но оно не лишено динамики: постоянные флуктуации полей создают нулевую точечную энергию, которая может проявляться макроскопически в виде измеримых сил.
При рассмотрении эффекта Казимира в контексте гравитации важно учитывать, что энергия вакуума взаимодействует с метрическим полем. В теории общей относительности энергия и импульс — источники кривизны пространства-времени. Следовательно, распределение вакуумной энергии в присутствии ограничивающих границ (пластины, проводники) влияет на локальную геометрию пространства-времени.
В обычной постановке задачи эффекта Казимира рассматриваются два идеально проводящих плоских параллельных слоя в вакууме. Поля, удовлетворяющие граничным условиям на этих слоях, имеют дискретный спектр мод, в отличие от непрерывного спектра свободного вакуума.
Энергия вакуума определяется суммой нулевых колебаний всех мод:
$$ E_{\text{vac}} = \frac{1}{2} \sum_n \hbar \omega_n $$
В бесконечном пространстве эта сумма формально бесконечна, но разность энергии между конфигурацией с границами и без них конечна и физически измерима. Именно эта разность создает силу Казимира, которая может быть выражена как:
$$ F_c = - \frac{\partial E_{\text{vac}}}{\partial L} $$
где L — расстояние между границами.
В присутствии гравитационного поля спектр мод и, следовательно, энергия вакуума изменяются. Кривизна пространства-времени влияет на волновые уравнения для квантовых полей, изменяя частоты собственных колебаний ωn.
Для слабого поля, когда метрический тензор можно записать как gμν = ημν + hμν с |hμν| ≪ 1, влияние гравитации на эффект Казимира можно рассчитать с использованием линейной аппроксимации.
В этом случае энергия нулевых колебаний корректируется следующим образом:
$$ \omega_n \to \omega_n \left( 1 + \frac{1}{2} h_{00} \right) $$
где h00 — компонент тензора метрики, отвечающая за потенциал гравитационного поля в локальном покоящемся фрейме.
Суммирование этих корректированных частот приводит к дополнительной энергии вакуума, которая проявляется как изменение силы Казимира:
$$ F_c^{\text{grav}} = F_c^{\text{flat}} \left( 1 + \alpha \frac{\Phi}{c^2} \right) $$
где Φ — гравитационный потенциал, а α — численный коэффициент, зависящий от геометрии и типа поля.
При сильной кривизне, например вблизи массивных объектов или в космологической модели с кривым пространством, эффект Казимира проявляется иначе. Волновые функции полей в кривом пространстве удовлетворяют уравнению Дирака или Клейна–Гордона с ковариантной производной:
(□g + m2 + ξR)ϕ = 0
где □g — лапласиан в кривом пространстве, R — скалярная кривизна, ξ — конформный параметр связи поля с кривизной.
Влияние кривизны приводит к локальным изменениям плотности энергии вакуума, которые могут усиливать или ослаблять стандартную силу Казимира. В условиях высокой кривизны даже небольшие геометрические ограничения вызывают значительные корректировки вакуумной энергии.
Энергетический тензор вакуума Tμνvac является источником гравитации через уравнение Эйнштейна:
Gμν = 8πG Tμνtotal
где Tμνtotal = Tμνmatter + Tμνvac.
Энергетический тензор эффекта Казимира имеет вид:
⟨Tμν⟩ = diag(ρCas, −p∥, −p∥, −p⟂)
где ρCas — энергия вакуума между пластинами, p∥ и p⟂ — давления вдоль и перпендикулярно границам.
Эта анизотропная плотность энергии ведет к локальной деформации метрики и может быть рассмотрена как источник дополнительного гравитационного потенциала.
В расширяющейся Вселенной эффект Казимира может оказывать влияние на динамику ранней Вселенной и поведение квантовых полей в космологическом масштабе. Для FLRW-метрики с масштабным фактором a(t) уравнение поля принимает вид:
$$ \ddot{\phi} + 3 \frac{\dot{a}}{a} \dot{\phi} - \frac{1}{a^2} \nabla^2 \phi + m^2 \phi = 0 $$
Ограничения на поле (например, компактные топологии или «тороидальные» условия) приводят к дискретизации мод и формируют космологическую версию эффекта Казимира. Энергия этих мод может участвовать в формировании эффективного космологического постоянного Λeff.
Эффект Казимира в гравитационных полях является естественным полем для изучения взаимосвязи квантовых флуктуаций и геометрии. В рамках теорий квантовой гравитации, таких как петлевая квантовая гравитация или эффективные действия для гравитации, нулевые колебания полей влияют на структурирование микроскопической геометрии пространства-времени.
Особенно значимы расчеты «обратной реакции» вакуумной энергии на метрику, поскольку они позволяют оценить вклад квантовых флуктуаций в кривизну пространства-времени и космологическое ускорение.