Формализм Арновита-Дезера-Мизнера (АДМ)

Формализм Арновита–Дезера–Мизнера (ADM) представляет собой канонический подход к общей теории относительности, который позволяет рассматривать гравитационное поле в терминах фазового пространства и переходить к квантованию. Он основан на разложении пространства-времени на последовательность пространственных срезов и выделении динамических и ограничительных степеней свободы.

---

1. Разложение 3+1

Ключевая идея формализма ADM — разложение четырёхмерного пространства-времени ℳ на последовательность трёхмерных пространственных гиперповерхностей Σ_t, помеченных параметром времени t. Метрика пространства-времени g_μν при этом выражается через три компонента:

ds² = −N²dt² + h_ij(dxⁱ + Nⁱdt)(dx^j + N^jdt),

где:

• N(t, xⁱ) — функция сдвига (lapse function), определяет интервал между соседними срезами;
• Nⁱ(t, x^j) — вектор сдвига (shift vector), описывает сдвиг координат на гиперповерхности;
• h_ij(t, x^k) — метрика трехмерного пространства на срезе Σ_t.

Такое разложение позволяет выделить динамические и нединамические переменные. h_ij является динамической переменной, в то время как N и Nⁱ играют роль множителей Лагранжа и обеспечивают выполнение ограничений.

---

2. Каноническая структура

Каноническая формулировка начинается с введения канонических переменных:

(h_ij, π^ij),

где π^ij — канонически сопряжённая к h_ij плотность импульса, определяемая как

$$ \pi^{ij} = \sqrt{h} (K^{ij} - h^{ij} K), $$

где K_ij — тензор кривизны extrinsic curvature (внешней кривизны):

$$ K_{ij} = \frac{1}{2N} \left( \dot{h}_{ij} - D_i N_j - D_j N_i \right), $$

и K = h^ijK_ij, D_i — ковариантная производная по метрике h_ij.

В этих переменных гамильтониан общей теории относительности принимает вид:

H = ∫_Σtd³x (Nℋ + Nⁱℋ_i),

где ℋ и ℋ_i — гамильтоновы ограничения:

• Скалярное ограничение (гамильтоново)

$$ \mathcal{H} = \frac{1}{\sqrt{h}} \left( \pi_{ij} \pi^{ij} - \frac{1}{2} (\pi^i_i)^2 \right) - \sqrt{h} \, R^{(3)}, $$

• Векторное ограничение (векторное, или диффеоморфизмное)

ℋ_i = −2D_jπ_i^j.

Здесь R⁽³⁾ — скалярная кривизна трёхмерного среза Σ_t.

Эти ограничения отражают фундаментальную диффеоморфизмную инвариантность теории: пространственные и временные преобразования координат не изменяют физическую динамику.

---

3. Уравнения движения

Из гамильтониана получаем уравнения Гамильтона–Якоби для h_ij и π^ij:

$$ \dot{h}_{ij} = \frac{\delta H}{\delta \pi^{ij}} = \frac{2N}{\sqrt{h}} \left( \pi_{ij} - \frac{1}{2} h_{ij} \pi^k_k \right) + D_i N_j + D_j N_i, $$

$$ \dot{\pi}^{ij} = -\frac{\delta H}{\delta h_{ij}} = \text{сложные термины, содержащие } R^{(3)} \text{ и } \pi^{kl}. $$

Эти уравнения эквивалентны уравнениям Эйнштейна при правильном выборе начальных данных, удовлетворяющих ограничениям ℋ = 0 и ℋ_i = 0.

---

4. Ограничения и начальные данные

Формализм ADM подчеркивает важность конструкции согласованных начальных данных. Поскольку N и Nⁱ не динамические, начальные данные должны удовлетворять:

ℋ = 0,  ℋ_i = 0.

Это обеспечивает корректность динамики и согласованность с общей теорией относительности. Задача выбора допустимых данных на срезе Σ_t называется задачей начальных данных.

---

5. Квантование в формализме ADM

Формализм ADM является отправной точкой для канонического квантования гравитации. В каноническом подходе переменные h_ij и π^ij продвигаются в операторы на функциональном пространстве:

$$ \pi^{ij} \to - i \hbar \frac{\delta}{\delta h_{ij}}. $$

Скалярное ограничение ℋ = 0 переходит в уравнение Вейля–Двэйта (Wheeler–DeWitt equation):

$$ \hat{\mathcal{H}} \Psi[h_{ij}] = 0, $$

где Ψ[h_ij] — функционал волновой функции пространства, описывающий квантовое состояние геометрии.

Векторное ограничение ℋ_i = 0 накладывает инвариантность по диффеоморфизмам 3-пространства:

$$ \hat{\mathcal{H}}_i \Psi[h_{ij}] = 0. $$

Таким образом, формализм ADM дает строгую основу для перехода от классической к квантовой гравитации, делая явными динамические и нединамические степени свободы.

---

6. Применения и особенности

1. Космология: формализм ADM позволяет рассматривать минисуперпространства для упрощённых моделей (например, вселенной Фридмана–Лемайтера–Робертсона–Уокера).
2. Чёрные дыры: позволяет изучать динамику горизонтов и формулировать квантовые модели.
3. Численные расчёты: ADM широко используется в численной общей теории относительности, например, при моделировании слияния чёрных дыр и гравитационных волн.
4. Каноническое квантование: основа для петлевой квантовой гравитации и других подходов к квантовой геометрии.

Формализм ADM делает очевидным, что основными объектами квантовой гравитации являются гиперповерхности трёхмерного пространства, а динамика реализуется через переходы между ними, сохраняя при этом фундаментальные ограничения диффеоморфизмной инвариантности.