Голографическая ренормализационная группа

Голографическая ренормализационная группа (holographic renormalization group, HRG) является мощным инструментом исследования квантовой гравитации в контексте адекватного описания поля в анти-де Ситтеровских (AdS) пространствах. Она опирается на глубокую связь между ренормализацией в квантовых полях и геометрией пространства-времени в рамках AdS/CFT соответствия.

Связь AdS/CFT и ренормализационной группы

В теории AdS/CFT соответствует соответствие между гравитационной динамикой в (d+1)-мерном AdS-пространстве и конформной теорией поля (CFT) в d измерениях на его границе. Ренормализационная группа в CFT отражает изменения физических величин при масштабировании энергии. В гравитационном языке это эквивалентно перемещению вдоль радиальной координаты AdS, которая играет роль энергетического масштаба.

Ключевой момент:

Радиальная координата r в AdS соответствует масштабу μ в CFT: увеличение r → IR (низкие энергии), уменьшение r → UV (высокие энергии).
Полевая динамика на разных срезах r = const отражает «течение» ренормализационной группы.

Формализм голографической ренормализации

Голографическая ренормализация начинается с действия Эйнштейна с негативной космологической постоянной и включает матричные поля, связанные с граничными условиями:

$$ S = \frac{1}{16 \pi G_N} \int d^{d+1}x \sqrt{-g} \left( R - 2 \Lambda \right) + S_\text{matter}. $$

Для изучения границы AdS вводится срез на радиусе r = ϵ, а затем ϵ → 0. На этой границе возникают дивергентные термины, которые соответствуют UV-дивергенциям в CFT. Для их удаления используется метод контртермов:

S_ren = S_bulk + S_GH + S_ct,

где S_GH — гibbons-hawking term, S_ct — локальные контртермы, определяемые геометрией границы.

Ключевой момент:

Голографическая ренормализация обеспечивает согласование квантовых коррекций в CFT с геометрическими характеристиками AdS-пространства.
В результате можно извлекать конформные аномалии и корреляционные функции на границе через вариацию S_ren по граничным данным.

Потоки ренормализационной группы и уравнения Хэмильтона–Якоби

В HRG динамика поля вдоль радиальной координаты подчиняется уравнениям Хэмильтона–Якоби:

$$ \frac{\delta S_\text{ren}}{\delta \phi(x)} = \pi_\phi(x), $$

где ϕ(x) — граничное значение поля, а π_ϕ — сопряженный импульс. Эти уравнения позволяют определить поток ренормализационной группы:

$$ \frac{d \phi}{d \ln \mu} = \beta_\phi(\phi), $$

где β_ϕ — бета-функция поля. В гравитационном контексте β_ϕ выражается через радиальные производные граничных данных.

Ключевой момент:

HRG формально сводит задачу нахождения бета-функций CFT к решению уравнений Эйнштейна с заданными граничными условиями.
Это дает не только качественное понимание, но и количественные предсказания для операторов на границе.

Голографические вычисления конформных аномалий

Одним из центральных результатов HRG является возможность вычисления конформной аномалии ⟨T_μ^μ⟩ для CFT через данные AdS:

$$ \langle T^\mu_\mu \rangle = \lim_{\epsilon \to 0} \frac{2}{\sqrt{-\gamma}} \gamma_{\mu\nu} \frac{\delta S_\text{ren}}{\delta \gamma_{\mu\nu}}, $$

где γ_μν — метрика на границе. Контртермы S_ct устраняют дивергенции, позволяя получить конечные значения аномалий. Этот подход демонстрирует глубокую связь между геометрией пространства-времени и квантовыми эффектами на границе.

Применения и перспективы

Голографическая ренормализационная группа используется для изучения:

Течения ренормализационной группы в сильно взаимодействующих CFT.
Квантовой динамики черных дыр и термодинамических характеристик.
Эффективных теорий на границе AdS, включая моделирование конденсаторов в конденсированной материи через AdS/CMT.

HRG позволяет исследовать непертурбативные эффекты и строить полные квантовые описания без необходимости использовать стандартные методы слабого взаимодействия.