Голономии — фундаментальный объект в подходе к квантовой гравитации, основанной на петлевой формализации. Они представляют собой элементарные матрицы параллельного переноса вдоль замкнутого контура в пространственно-временной сетке, которая описывает гравитационное поле в терминах связностей Ашкар-Барберо.
Пусть Aai(x) — связность Ашкар-Барберо, где индекс i относится к алгебре su(2), а индекс a — к пространственным координатам. Голономия вдоль петли γ определяется как упорядоченный экспоненциал:
hγ[A] = ????exp (∫γAai(x)τi dxa),
где $\tau_i = -\frac{i}{2}\sigma_i$ — базисные элементы алгебры su(2), а σi — матрицы Паули.
Ключевой момент: голономия является элементом группы SU(2) и кодирует всю информацию о параллельном переносе вдоль контура. В контексте петлевой квантовой гравитации она играет роль фундаментального переменного, заменяя традиционные координаты и импульсы.
Связность Ашкар-Барберо Aai вводится как комбинация трехмерной спиновой связности Γai и конформного кратного тензора экструдии Kai:
Aai = Γai + γKai,
где γ — параметр Барберо, играющий роль квантового деформационного коэффициента.
Физическая интерпретация:
Связность Ашкар-Барберо переводит классическую фазовую область гравитации в форму, пригодную для квантования через петли.
В петлевой квантовой гравитации гильбертово пространство строится из функций цилиндрических по голономиям. Пусть Ψ[A] — функционал состояния, зависящий от связности. Действие голономии вдоль петли γ реализуется как мультипликативный оператор:
ĥγΨ[A] = hγ[A]Ψ[A].
Ключевой момент: таким образом, голономии играют роль аналогов экспоненты интеграла канонической переменной в квантовой механике и формируют базис для построения спиновых сетей.
Операторы, построенные через голономии и связанные с ними функции (т.н. петлевые переменные Ашкар-Барберо), позволяют определять геометрические величины:
$$ \hat{A}_S = \sum_{\ell \cap S} \sqrt{j_\ell(j_\ell+1)} \, \ell_p^2, $$
где jℓ — спиновое число ребра, пересекающего поверхность, ℓp — планковская длина.
$$ \hat{V}_R = \sum_{v \in R} \sqrt{\left| \frac{1}{3!} \epsilon_{abc} \epsilon^{ijk} \hat{E}^a_i \hat{E}^b_j \hat{E}^c_k \right|}. $$
Комментарий: операторы площади и объема коммутируют с голономиями, но их собственные значения квантованы, что отражает дискретность пространственно-временной геометрии на планковских масштабах.
Базовые состояния петлевой квантовой гравитации формируют спиновые сети, графы, где:
Голономии вдоль ребер графа действуют как матричные операторы в соответствующем представлении. Их композиция обеспечивает полное описание квантового состояния геометрии.
Ключевой момент: спиновые сети обеспечивают ортонормированный базис гильбертова пространства и делают возможным вычисление спектров геометрических операторов.
Голономии не коммутируют в общем случае, что отражает нелинейную природу связности:
[hγ1, hγ2] ≠ 0,
если петли γ1 и γ2 пересекаются. Алгебра голономий и операторов плоскостей формирует основу петлевой квантовой динамики, включая построение гамильтониана в терминах спиновых сетей.
Использование голономий позволяет:
Замечание: голономии — центральный инструмент не только в чисто теоретическом построении, но и в попытках определить квантовые эффекты вблизи черных дыр, ранней Вселенной и других областях высокой кривизны.