Гравитация на некоммутативных пространствах

Некоммутативная геометрия предоставляет естественный математический аппарат для описания физики на масштабах, близких к планковскому. В традиционной классической физике координаты пространства-времени x^μ коммутируют:

[x^μ, x^ν] = 0.

В некоммутативной геометрии эта аксиома снимается, и координаты подчиняются коммутатору

[x^μ, x^ν] = iθ^μν,

где θ^μν — антисимметричный константный тензор, задающий структуру некоммутативности. Это означает, что на малых масштабах пространство-время «размыто», а точное локализованное положение становится неопределённым, что напрямую связано с принципом неопределённости Гейзенберга, обобщённым на координаты.

---

Механизм введения некоммутативности в гравитацию

При переходе к некоммутативной гравитации основным подходом является замена обычной алгебры функций на алгебру со звёздной (Moyal) продукцией. Для двух функций f(x) и g(x) это записывается как

$$ (f \star g)(x) = f(x) \exp\left(\frac{i}{2} \overleftarrow{\partial_\mu} \theta^{\mu\nu} \overrightarrow{\partial_\nu}\right) g(x), $$

что позволяет сохранять ассоциативность произведения, но нарушает коммутативность. Физически это отражает взаимодействие полей на «квантовом» пространстве-времени.

Для гравитационного поля метрический тензор g_μν(x) заменяется на g_μν(x) → g_μν(x)⋆, а действие Эйнштейна–Гильберта принимает вид

$$ S = \frac{1}{16\pi G} \int d^4x \, \sqrt{-g} \star R, $$

где R — скалярная кривизна, вычисляемая через ⋆-произведения. Это приводит к дополнительным поправкам в уравнениях Эйнштейна, которые зависят от тензора θ^μν.

---

Деформации симметрий и ковариантность

Некоммутативная структура нарушает обычную локальную Лоренцеву инвариантность. Для сохранения ковариантности используют концепцию деквантованной диффеоморфной симметрии. Основные принципы:

1. Деформированные группы Ли: алгебра диффеоморфизмов модифицируется так, чтобы учитывать некоммутативные поправки.

2. Твистовые преобразования: вводится т.н. twist element, который позволяет строить деформированную копию стандартной ковариантной симметрии.

3. Ковариантная ⋆-производная: Для тензоров T^μν вводят производную D_μ такую, что

   D_μ ⋆ T^αβ = ∂_μT^αβ + Γ_μλ^α ⋆ T^λβ + Γ_μλ^β ⋆ T^αλ.

Это обеспечивает согласованность геометрических конструкций с некоммутативной алгеброй.

---

Уравнения движения и эффективные гравитационные поля

Используя ⋆-деформацию, уравнения Эйнштейна становятся

G_μν + ΔG_μν(θ) = 8πG T_μν,

где ΔG_μν(θ) — поправки, зависящие от параметра некоммутативности. Основные особенности:

• Появляются новые высокопроизводные члены, содержащие θ^μν и производные метрики более высокого порядка.
• Возможна самоподдерживающаяся энергия вакуума, формируемая структурой некоммутативного пространства.
• Для слабых полей θ ≪ 1 поправки линейны по θ, что позволяет проводить феноменологический анализ на астрофизических масштабах.

---

Квантование гравитации на некоммутативном фоне

Некоммутативность координат вводит естественный ультрафиолетовый регулятор, что делает теорию слабо сингулярной на малых масштабах. Основные методы квантования:

1. Функциональный интеграл:

   Z = ∫????g_μν e^{iS[g_μν]_⋆}.

   ⋆-произведение приводит к новым вершинам взаимодействия в Feynman-диаграммах.

2. Матрицевая модель: Некоммутативная геометрия может быть представлена через матрицы больших размеров N → ∞, где координаты становятся матричными операторами. Это приближает гравитацию к теории случайных матриц, связывая её с концепцией emergent geometry.

3. Ренормгрупповые методы: Необходимость учета некоммутативных поправок приводит к новым фиксированным точкам, где поведение гравитации отличается от стандартного на планковских масштабах.

---

Феноменологические следствия

Некоторые ключевые физические эффекты, возникающие в некоммутативной гравитации:

• Сглаживание сингулярностей: черные дыры и космологические сингулярности получают естественное «размытие» на масштабах $\sqrt{\theta}$.
• Модификация закона Ньютона на малых расстояниях: потенциал приобретает дополнительные члены, зависящие от θ.
• Дискретизация спектра гравитационных волн: частотные спектры становятся квазидискретными из-за квантовой структуры пространства.
• Влияние на космологию ранней Вселенной: возможна стабилизация инфляционного периода или формирование новых типов топологических дефектов.

---

Основные подходы к построению моделей

Существует несколько стратегий внедрения некоммутативной структуры:

1. Модели с константной θ^μν: простейший вариант, где некоммутативность не зависит от координат.
2. Динамическая некоммутативность: θ^μν(x) становится полем, которое подчиняется своим уравнениям движения.
3. Групповая некоммутативность: пространство-время рассматривается как квазигруппа, где координаты удовлетворяют более сложным алгебраическим соотношениям (например, квантовые группы SU_q(2)).

Каждый подход имеет свои преимущества: первые два позволяют вести сравнительно простые расчёты, а третий раскрывает глубокую связь с квантовой топологией и матричными моделями.