Космологическая инфляция — это гипотетическая фаза крайне быстрого экспоненциального расширения ранней Вселенной, предложенная для объяснения однородности и изотропности наблюдаемого космического микроволнового фона (CMB), а также плоской геометрии пространства. На уровне квантовой физики инфляция играет фундаментальную роль, так как она превращает микроскопические квантовые флуктуации в макроскопические структуры Вселенной.
Инфляция моделируется с использованием скалярного поля φ (инфлатона) с потенциалом V(ϕ). Основные уравнения описываются системой:
$$ \ddot{\phi} + 3H\dot{\phi} + \frac{\partial V}{\partial \phi} = 0 $$
$$ H^2 = \frac{8\pi G}{3} \left( \frac{1}{2}\dot{\phi}^2 + V(\phi) \right) $$
где H = ȧ/a — параметр Хаббла, описывающий скорость расширения, а a(t) — масштабный фактор Вселенной.
В фазе медленного спуска (slow-roll approximation) выполняются условия:
$$ \epsilon \equiv \frac{M_{\text{Pl}}^2}{2} \left( \frac{V'}{V} \right)^2 \ll 1, \quad \eta \equiv M_{\text{Pl}}^2 \frac{V''}{V} \ll 1 $$
где MPl — планковская масса. Эти условия гарантируют почти экспоненциальное расширение a(t) ∼ eHt.
Во время инфляции квантовые поля испытывают стохастические флуктуации, которые затем растягиваются до космологических масштабов. Рассмотрим малые возмущения δϕ(x, t) на фоне однородного инфлатона ϕ(t):
ϕ(x, t) = ϕ(t) + δϕ(x, t)
Эти флуктуации подчиняются квантовому уравнению движения в де Ситтеровском пространстве:
$$ \delta\ddot{\phi}_k + 3H \delta\dot{\phi}_k + \frac{k^2}{a^2}\delta\phi_k = 0 $$
где δϕk — фурье-компонента возмущения с волновым числом k.
На подгоризонтных масштабах (k ≫ aH) решения ведут себя как свободные волны, а на сверхгоризонтных масштабах (k ≪ aH) амплитуда стабилизируется, что приводит к замораживанию флуктуаций:
$$ \delta\phi_k \sim \frac{H}{2\pi} $$
Эти флуктуации являются источником первичных возмущений плотности, которые впоследствии формируют крупномасштабную структуру Вселенной.
Квантовые флуктуации инфлатона индуцируют кривизну пространства, описываемую скалярной кривизной возмущений ℛ. Амплитуда спектра этих возмущений в момент выхода из горизонта определяется формулой:
$$ \mathcal{P_R}(k) = \frac{1}{2\epsilon} \left(\frac{H}{2\pi}\right)^2 $$
где ϵ — медленно меняющийся параметр инфляции.
$$ n_s - 1 = \frac{d\ln \mathcal{P_R}}{d\ln k} \simeq -6\epsilon + 2\eta $$
Экспериментально наблюдается ns ≈ 0.965, что подтверждает почти, но не полностью, изотропный спектр флуктуаций.
Помимо скалярных возмущений, инфляция порождает тензорные флуктуации hij — первичные гравитационные волны:
$$ \ddot{h}_{ij} + 3H\dot{h}_{ij} + \frac{k^2}{a^2} h_{ij} = 0 $$
Амплитуда тензорных возмущений также пропорциональна H/2π, а соотношение тензор/скаляр r = ????t/????ℛ является важным параметром для проверки моделей инфляции.
На сверхгоризонтных масштабах эволюция инфлатона приобретает классический стохастический характер. Можно описать распределение поля с помощью стационарного уравнения Фоккера-Планка для вероятностной плотности P(ϕ, t):
$$ \frac{\partial P}{\partial t} = \frac{1}{3H} \frac{\partial}{\partial \phi} \left( V' P \right) + \frac{H^3}{8\pi^2} \frac{\partial^2 P}{\partial \phi^2} $$
Этот подход позволяет моделировать вечную инфляцию, где квантовые скачки инфлатона приводят к непрерывному порождению новых инфляционных «пузырей».
Квантовые флуктуации инфлатона напрямую измеряются через анизотропии CMB:
Таким образом, инфляционная модель превращает микроскопические квантовые явления в макроскопические космологические наблюдаемые величины, делая квантовую гравитацию и космологию тесно связанными.