Калибровочные теории представляют собой фундаментальный инструмент современной физики для описания взаимодействий элементарных частиц. Они базируются на принципе локальной симметрии, когда физические законы инвариантны относительно локальных преобразований некоторой группы Ли. Величина, отвечающая за калибровку, — калибровочное поле Aμa, которое обеспечивает сохранение локальной симметрии в лагранжиане системы.
Для группы G с генераторами Ta калибровочные преобразования поля ψ(x) имеют вид:
ψ(x) → U(x)ψ(x), U(x) = exp [iαa(x)Ta],
а калибровочное поле трансформируется как:
$$ A_\mu \rightarrow U A_\mu U^{-1} - \frac{i}{g} (\partial_\mu U) U^{-1}. $$
Ключевой объект в лагранжиане калибровочной теории — тензор поля Fμνa, который описывает собственные динамические свойства калибровочного поля:
Fμνa = ∂μAνa − ∂νAμa + gfabcAμbAνc,
где fabc — структурные константы группы, а g — калибровочный констант связи. Лагранжиан чистого калибровочного поля:
$$ \mathcal{L}_\text{gauge} = -\frac{1}{4} F_{\mu\nu}^a F^{a\,\mu\nu}. $$
Эта конструкция лежит в основе описания взаимодействий в Стандартной модели: электромагнитного, слабого и сильного взаимодействий.
Спонтанное нарушение симметрии (СНС) возникает, когда лагранжиан системы обладает симметрией, но вакуумное состояние её не сохраняет. Наиболее известный механизм СНС — механизм Хиггса. Он вводит скалярное поле ϕ с потенциалом:
V(ϕ) = μ2ϕ†ϕ + λ(ϕ†ϕ)2,
где μ2 < 0 обеспечивает ненулевое вакуумное ожидание поля (VEV):
$$ \langle \phi \rangle = \frac{v}{\sqrt{2}} \neq 0. $$
Вследствие СНС возникают следующие ключевые эффекты:
Появление массы у калибровочных полей. В случае электрослабой теории калибровочные поля W± и Z0 получают массу за счет взаимодействия с вакуумным состоянием Хиггса, сохраняя при этом локальную калибровочную инвариантность.
Наличие золотоновых мод. Для глобальных симметрий СНС приводит к безмассовым скалярным модам, называемым модами НГ (Намбу–Голдстоуна). В локальных калибровочных теориях эти моды «поглощаются» калибровочными полями, обеспечивая им массу (механизм Хиггса).
Декомпозиция поля Хиггса. После нарушения симметрии скалярное поле раскладывается на компоненту вакуумного состояния и возмущение:
$$ \phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2}}(v + h(x)) \exp[i \theta^a(x) T^a / v], $$
где h(x) — физическое скалярное поле Хиггса, а θa(x) — золотоновые моды, поглощенные калибровочными полями.
При включении гравитации лагранжиан калибровочной теории расширяется до криволинейного пространства:
$$ \mathcal{L} = \sqrt{-g} \left[-\frac{1}{4} g^{\mu\alpha} g^{\nu\beta} F_{\mu\nu}^a F_{\alpha\beta}^a + (D_\mu \phi)^\dagger D^\mu \phi - V(\phi) \right], $$
где gμν — метрический тензор, Dμ — калибровочно-ковариантная производная в кривом пространстве. СНС в этом контексте может влиять на структуру вакуума и приводить к динамическим эффектам, таким как формирование космологических конденсатов и генерация массы через космологическое скалярное поле.
Неразрывная связь между калибровкой и геометрией. Калибровочные поля и гравитационное поле взаимодействуют через кривизну пространства и конфигурации вакуума, что является центральным в подходах квантовой гравитации, таких как теория суперструн и петлевая квантовая гравитация.
Масштабные эффекты СНС. На планковских масштабах вакуумная структура может изменить эффективность силовых взаимодействий, а спонтанное нарушение симметрии может быть связано с генерацией массы планковских бозонов.
Квантование калибровочных и гравитационных полей. Совместное квантование калибровочных и гравитационных степеней свободы приводит к необходимости учитывать аномалии, топологические конфигурации (например, instanton и монополи), а также возможные новые механизмы нарушения симметрии на планковских масштабах.
Линейная фиксация калибровки. Для удобства вычислений и устранения вырожденностей применяется выбор калибровки, например, Rξ-калибровка, которая упрощает вычисление диаграмм Фейнмана с массивными калибровочными полями.
Ренормировка. СНС и калибровочные взаимодействия требуют аккуратной ренормировки лагранжиана, чтобы избежать расходимостей в квантовой теории. Контртермы добавляются в соответствии с законами симметрии и калибровочной инвариантности.
Физические наблюдаемые. Массы калибровочных бозонов, взаимодействия Хиггса и константы связи формируют набор предсказаний, которые проверяются в экспериментах (например, в коллайдерах LHC) и служат тестом корректности калибровочных моделей в присутствии СНС.