Основная цель канонического квантования состоит в переходе от классического описания поля к квантовому, при котором динамические переменные становятся операторами на гильбертовом пространстве состояний. В контексте квантовой гравитации этот подход позволяет строить теорию возмущений поля на фоне изогнутого пространства-времени и является фундаментальным шагом к пониманию взаимодействия материи и гравитации на микроскопических масштабах.
Пусть рассматривается действительное скалярное поле ϕ(x) на четырехмерном многообразии с метрикой gμν. Классический лагранжиан поля имеет вид:
$$ \mathcal{L} = \frac{1}{2} g^{\mu\nu} \partial_\mu \phi \, \partial_\nu \phi - \frac{1}{2} m^2 \phi^2 - V(\phi), $$
где m — масса скалярного поля, а V(ϕ) — потенциальная энергия взаимодействия. Из лагранжиана через принцип наименьшего действия выводятся уравнения Эйлера–Лагранжа:
$$ \frac{1}{\sqrt{-g}} \partial_\mu \left( \sqrt{-g} \, g^{\mu\nu} \partial_\nu \phi \right) + m^2 \phi + \frac{dV}{d\phi} = 0. $$
Эти уравнения описывают динамику классического поля на криволинейном пространстве-времени.
Для перехода к каноническому квантованию необходимо определить канонические координаты и сопряженные импульсы. Выбирается пространственно-временное разбиение 3 + 1 с временной координатой t и пространственными координатами x. Канонический импульс π(x, t) определяется как:
$$ \pi(\mathbf{x},t) = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_t \phi)} = \sqrt{-g} \, g^{0\nu} \partial_\nu \phi. $$
Гамильтониан системы записывается через ϕ и π как:
H[ϕ, π] = ∫d3x (π ∂tϕ − ℒ),
что позволяет сформулировать канонические уравнения Гамильтона:
$$ \partial_t \phi = \frac{\delta H}{\delta \pi}, \quad \partial_t \pi = - \frac{\delta H}{\delta \phi}. $$
Эти уравнения эквивалентны классическим уравнениям Эйлера–Лагранжа, но уже в канонической форме.
Квантование осуществляется путем замены классических переменных на операторы ϕ̂(x, t) и π̂(x, t), удовлетворяющие коммутационным соотношениям:
[ϕ̂(x, t), π̂(y, t)] = iℏ δ3(x − y),
[ϕ̂(x, t), ϕ̂(y, t)] = [π̂(x, t), π̂(y, t)] = 0.
Эти соотношения формируют основу квантовой теории поля, обеспечивая корректное описание квантовых флуктуаций.
Для свободного скалярного поля (V(ϕ) = 0) оператор поля можно разложить по модам плоской волновой функции (или собственным функциям Лапласа-Бельтрами на криволинейной пространственной поверхности):
$$ \hat{\phi}(\mathbf{x},t) = \int \frac{d^3 k}{(2\pi)^3} \frac{1}{\sqrt{2 \omega_{\mathbf{k}}}} \left( \hat{a}_{\mathbf{k}} e^{i \mathbf{k}\cdot \mathbf{x} - i \omega_{\mathbf{k}} t} + \hat{a}_{\mathbf{k}}^\dagger e^{-i \mathbf{k}\cdot \mathbf{x} + i \omega_{\mathbf{k}} t} \right), $$
$$ \hat{\pi}(\mathbf{x},t) = - i \int \frac{d^3 k}{(2\pi)^3} \sqrt{\frac{\omega_{\mathbf{k}}}{2}} \left( \hat{a}_{\mathbf{k}} e^{i \mathbf{k}\cdot \mathbf{x} - i \omega_{\mathbf{k}} t} - \hat{a}_{\mathbf{k}}^\dagger e^{-i \mathbf{k}\cdot \mathbf{x} + i \omega_{\mathbf{k}} t} \right), $$
где $\omega_{\mathbf{k}} = \sqrt{\mathbf{k}^2 + m^2}$, а âk и âk† — операторы уничтожения и создания квантов поля.
Действие операторов создания и уничтожения формирует Fock-пространство состояний. Основное состояние |0⟩ определяется условием âk|0⟩ = 0. Многочастичные состояния строятся как:
|k1, k2, …, kn⟩ = âk1†âk2†…âkn†|0⟩.
Каждое квантовое состояние характеризуется определенной энергией ∑iωki.
В рамках квантовой гравитации скалярное поле рассматривается как тестовое поле на фоне динамической метрики gμν. Каноническое квантование сохраняет форму, но моды поля зависят от геометрии пространства-времени. Для пространств с изометриями, как FLRW-модели, удобно использовать разложение поля по собственным функциям Лапласиана на пространственных гиперповерхностях.
Каноническое квантование на криволинейных фонах приводит к концепции неоднозначности вакуума. Например, на горизонте черной дыры различные наблюдатели могут по-разному определять состояния |0⟩, что приводит к эффекту Хокинга: квантовое излучение из-за искривления метрики, описываемое как испарение черной дыры. Это демонстрирует ключевое значение канонического квантования скалярных полей для понимания взаимодействия квантовой материи с гравитацией.