Космологические решения уравнений Эйнштейна представляют собой класс решений, описывающих глобальную структуру пространства-времени, учитывающую однородность и изотропность Вселенной на больших масштабах. В основе этих моделей лежит принцип космологической однородности, который утверждает, что в среднем на больших масштабах физические свойства Вселенной одинаковы во всех точках, и принцип изотропности, предполагающий отсутствие предпочтительных направлений.
Уравнения Эйнштейна с космологической константой Λ имеют вид:
$$ G_{\mu\nu} + \Lambda g_{\mu\nu} = \frac{8\pi G}{c^4} T_{\mu\nu}, $$
где Gμν — тензор Эйнштейна, Tμν — тензор энергии-импульса материи, gμν — метрический тензор, G — гравитационная постоянная, c — скорость света. Для космологических решений предполагается, что Вселенная заполняется идеальным жидким веществом с плотностью ρ и давлением p.
Основой современной космологии является метрика Фридмана-Леметра-Робертсона-Уокера (FLRW), которая учитывает однородность и изотропность:
$$ ds^2 = -c^2 dt^2 + a^2(t) \left[ \frac{dr^2}{1 - k r^2} + r^2(d\theta^2 + \sin^2\theta \, d\phi^2) \right], $$
где a(t) — масштабный фактор, определяющий расширение Вселенной, k — кривизна пространства (k = 0 — плоская, k = +1 — сферическая, k = −1 — гиперболическая), (r, θ, ϕ) — сферические координаты. Масштабный фактор a(t) играет ключевую роль, описывая динамику космологической эволюции.
Подставляя метрику FLRW в уравнения Эйнштейна для идеального флюида, получают основные уравнения Фридмана, определяющие эволюцию масштабного фактора:
$$ \left(\frac{\dot{a}}{a}\right)^2 = \frac{8 \pi G}{3} \rho - \frac{k c^2}{a^2} + \frac{\Lambda c^2}{3}, $$
$$ \frac{\ddot{a}}{a} = -\frac{4 \pi G}{3} \left( \rho + \frac{3p}{c^2} \right) + \frac{\Lambda c^2}{3}. $$
Здесь ȧ и $\ddot{a}$ — первая и вторая производные масштабного фактора по времени. Эти уравнения позволяют описывать фазу расширения или сжатия Вселенной в зависимости от содержания энергии и давления.
Важным элементом космологической модели является уравнение состояния вещества:
p = wρc2,
где w — параметр состояния (например, w = 0 для пыли, w = 1/3 для излучения, w = −1 для тёмной энергии). С учетом этого уравнения и закона сохранения энергии:
$$ \dot{\rho} + 3 \frac{\dot{a}}{a} (\rho + \frac{p}{c^2}) = 0, $$
можно получить зависимость плотности энергии от масштабного фактора:
ρ(a) ∝ a−3(1 + w).
Для материи (w = 0) ρ ∼ a−3, для излучения (w = 1/3) ρ ∼ a−4, для тёмной энергии (w = −1) ρ = const.
1. Вселенная с положительной кривизной (k = +1) Закрытая Вселенная, которая может расширяться до максимума, а затем сжиматься. Возможен сценарий циклической Вселенной.
2. Вселенная с нулевой кривизной (k = 0) Плоская Вселенная, в которой плотность вещества равна критической $\rho_c = \frac{3 H^2}{8 \pi G}$. Расширение продолжается вечно, замедляясь при наличии материи.
3. Вселенная с отрицательной кривизной (k = −1) Открытая Вселенная, которая расширяется вечно, с бесконечным увеличением масштабного фактора.
4. Влияние космологической постоянной Положительная Λ вызывает ускоренное расширение (тёмная энергия), отрицательная Λ — сжатие.
$$ H(t) = \frac{\dot{a}}{a}, $$
определяет скорость расширения Вселенной.
$$ \rho_c = \frac{3 H^2}{8 \pi G}, $$
разделяет закрытые и открытые модели.
$$ \Omega_m = \frac{\rho}{\rho_c}, \quad \Omega_\Lambda = \frac{\Lambda c^2}{3 H^2}, \quad \Omega_k = 1 - \Omega_m - \Omega_\Lambda. $$
Эти параметры полностью определяют динамику космологической модели.
В начальные моменты времени (t → 0) плотность и температура были чрезвычайно высоки. Модели FLRW позволяют описывать:
Фазовые переходы ранней Вселенной, включая инфляцию, могут быть введены через скалярное поле с потенциальной энергией, что дополнительно изменяет динамику $\ddot{a}(t)$.
Космологические решения являются естественным полем применения квантовой гравитации, поскольку: