Квантование по Дираку систем со связями

Квантование по Дираку представляет собой метод перехода от классической механики к квантовой для систем с ограничениями (связями), которые не могут быть решены в терминах независимых динамических переменных. В классической механике такие системы описываются лагранжевыми или гамильтоновыми формализмами с наличием связей, которые накладывают ограничения на допустимые состояния фазового пространства. Квантование по Дираку обеспечивает корректное введение операторов в такие системы, сохраняя при этом структуру связей.

---

Классификация связей

Связи в гамильтоновой системе разделяются на два типа:

1. Первого рода (first-class constraints) – связи, которые имеют слабое нулевое коммутаторное отношение с другими связями системы:

{ϕ_i, ϕ_j} ≈ 0

Они порождают калибровочные преобразования и отражают наличие избыточных степеней свободы.

2. Второго рода (second-class constraints) – связи, для которых коммутатор не сводится к нулю:

{χ_i, χ_j} ≠ 0

Они полностью фиксируют динамику и уменьшают число независимых степеней свободы.

Ключевой момент: различие между этими типами связей критично для правильного квантования, так как связи второго рода требуют модификации канонических скобок для сохранения согласованности квантовой теории.

---

Модификация канонических скобок: скобки Дирака

Для систем со связями второго рода стандартные канонические скобки Пуассона {⋅, ⋅} не обеспечивают совместимости с квантованием. Дирак ввел скобки Дирака, определяемые следующим образом:

{A, B}_D = {A, B} − {A, χ_i}C^ij{χ_j, B},

где C^ij – обратная матрица к матрице коммутаторов связей второго рода:

C_ij = {χ_i, χ_j},  C^ikC_kj = δ_jⁱ

Свойства скобок Дирака:

• Скобки Дирака сохраняют антисимметричность и линейность.
• Любая связь второго рода имеет нулевые скобки Дирака со всеми функциями фазового пространства:

{A, χ_i}_D = 0.

Эта конструкция позволяет использовать скобки Дирака в качестве заменителя канонических скобок при квантовании: $\{ \cdot, \cdot \}_D \rightarrow \frac{1}{i\hbar}[\cdot, \cdot]$.

---

Гамильтон системы со связями: формализм Дирака

Для системы с гамильтонианом H и связями ϕ_i ≈ 0 полное действие Дирака имеет вид:

H_T = H + u_iϕ_i,

где u_i – неопределённые множители Лагранжа, отражающие избыточные степени свободы.

Последовательность действий при квантовании:

1. Определение всех связей. Выделяются связи первого и второго рода.
2. Составление матрицы коммутаторов для связей второго рода.
3. Введение скобок Дирака.
4. Замена скобок Дирака на квантовые коммутаторы.
5. Построение квантовых операторов и наблюдаемых.

Особенность: связи первого рода требуют отдельного подхода через введение калибровочных условий для устранения избыточных степеней свободы.

---

Квантование связей первого рода

Связи первого рода отражают внутреннюю симметрию системы и порождают группу калибровочных преобразований. Классический пример – электродинамика, где связь Гаусса ∇ ⋅ E − ρ ≈ 0 является связью первого рода.

Для квантования таких систем:

• Определяются калибровочные условия χ_α = 0, которые совместимы со связями первого рода.
• Составляется матрица коммутаторов связей второго рода (включая калибровочные условия).
• Вводятся скобки Дирака, обеспечивающие корректное квантование операторов.

Принцип: после фиксации калибровки все связи первого рода переходят в класс второй, что позволяет использовать стандартную процедуру скобок Дирака.

---

Примеры применения

1. Электродинамика в гамильтоновом формализме:

   • Связь первого рода: ϕ = π⁰ ≈ 0 (импульс, сопряжённый A⁰)
   • Связь второго рода: калибровочная фиксация, например, χ = ∂_iAⁱ ≈ 0
   • Скобки Дирака позволяют определить правильные квантовые коммутаторы для полей A и E.

2. Механика с ограничениями (классическая система с катенарой):

   • Связь второго рода: фиксированная длина стержня или троса
   • Скобки Дирака обеспечивают правильное движение в фазовом пространстве с учётом жесткой связи.

---

Роль квантования по Дираку в современной физике

Метод Дирака является фундаментальным при построении:

• Квантовой теории гравитации (например, формализм АДМ, где связи возникают из диффеоморфизмов пространства-времени).
• Калибровочных теорий (электродинамика, Янга–Миллс, теория Струн).
• Суперсимметричных моделей, где присутствуют как первый, так и второй классы связей.

Ключевая ценность метода заключается в строгом математическом основании для перехода от классических систем с ограничениями к квантовым операторам и обеспечении согласованности всей теории на всех уровнях.