Квантование полей представляет собой фундаментальный шаг в построении теории квантовой гравитации и в более широком контексте — квантовой теории поля. Основная цель — перевести классическое поле в операторное, действующее в гильбертовом пространстве состояний, и определить его коммутационные или антикоммутационные соотношения.
Для поля Дирака (спин-½ фермионы) и электромагнитного поля (спин-1 бозоны) существуют различия, которые связаны с природой статистики, которой подчиняются частицы: фермионы подчиняются статистике Ферми–Дирака, бозоны — статистике Бозе–Эйнштейна. Это приводит к необходимости введения антикоммутаторов для фермионных полей и коммутаторов для бозонных.
Поле Дирака описывается спинорной функцией ψ(x), удовлетворяющей уравнению Дирака:
(iγμ∂μ − m)ψ(x) = 0
где γμ — матрицы Дирака, m — масса частицы.
Поле Дирака раскладывается по модам плоских волн:
$$ \psi(x) = \int \frac{d^3 p}{(2\pi)^3} \frac{1}{\sqrt{2E_{\mathbf{p}}}} \sum_{s=1}^{2} \left( a_{\mathbf{p},s} u_s(\mathbf{p}) e^{-ip\cdot x} + b^\dagger_{\mathbf{p},s} v_s(\mathbf{p}) e^{ip\cdot x} \right) $$
где:
Для фермионных операторов вводятся антикоммутаторы:
{ap, s, ap′, s′†} = (2π)3δ3(p − p′)δss′, {bp, s, bp′, s′†} = (2π)3δ3(p − p′)δss′
Все остальные антикоммутаторы равны нулю. Эти соотношения гарантируют соблюдение принципа Паули для фермионов и формируют корректную структуру квантовой теории поля для частиц спина ½.
Гамильтониан поля Дирака выражается через операторы рождения и уничтожения:
H = ∫d3p Ep∑s(ap, s†ap, s + bp, s†bp, s)
Это выражение демонстрирует, что энергия системы складывается из вкладов всех мод фермионов и антифермионов.
Электромагнитное поле описывается 4-вектором потенциала Aμ(x) с лагранжианом:
$$ \mathcal{L} = -\frac{1}{4} F_{\mu\nu} F^{\mu\nu}, \quad F_{\mu\nu} = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu $$
Для упрощения квантования удобно использовать калибровку Кулона (∇ ⋅ A = 0), при которой компонент A0 можно исключить из динамических степеней свободы. Физические моды соответствуют двум поперечным поляризациям фотона.
В калибровке Кулона поле раскладывается по модам:
$$ \mathbf{A}(\mathbf{x},t) = \sum_{\lambda=1}^{2} \int \frac{d^3 k}{(2\pi)^3} \frac{1}{\sqrt{2|\mathbf{k}|}} \left( a_{\mathbf{k},\lambda} \boldsymbol{\epsilon}_{\mathbf{k},\lambda} e^{i \mathbf{k} \cdot \mathbf{x} - i |\mathbf{k}| t} + a^\dagger_{\mathbf{k},\lambda} \boldsymbol{\epsilon}^*_{\mathbf{k},\lambda} e^{-i \mathbf{k} \cdot \mathbf{x} + i |\mathbf{k}| t} \right) $$
где ϵk, λ — векторы поляризации, удовлетворяющие k ⋅ ϵk, λ = 0.
Для бозонных операторов:
[ak, λ, ak′, λ′†] = (2π)3δ3(k − k′)δλλ′, [ak, λ, ak′, λ′] = [ak, λ†, ak′, λ′†] = 0
Это обеспечивает правильную статистику Бозе–Эйнштейна и формирует кванты электромагнитного поля — фотоны.
Гамильтониан в терминах операторов:
$$ H = \sum_{\lambda=1}^{2} \int d^3 k \, |\mathbf{k}| \, a^\dagger_{\mathbf{k},\lambda} a_{\mathbf{k},\lambda} $$
Энергия системы складывается из всех фотонов с учетом их мод и поляризаций. Нулевая точка энергии отбрасывается в процессе нормализации.
| Свойство | Поле Дирака | Электромагнитное поле |
|---|---|---|
| Статистика | Фермионная (антикоммутаторы) | Бозонная (коммутаторы) |
| Степени свободы | 4-компонентный спинор | 2 поперечные поляризации фотона |
| Наличие античастиц | Да | Фотоны — свои античастицы |
| Гамильтониан | Сумма вкладов фермионов и антифермионов | Сумма вкладов фотонов |
Оба поля подчиняются принципу квантования, который переводит классические функции полей в операторы с определенными коммутационными или антикоммутационными соотношениями. Это обеспечивает фундамент для построения взаимодействующих теорий, включая электрослабую и квантовую гравитацию.
Квантование полей Дирака и электромагнитного поля служит прототипом для попыток квантования гравитационного поля. В частности: