В классической общей теории относительности гравитационное поле описывается метрикой gμν, которая подчиняется уравнениям Эйнштейна:
Gμν + Λgμν = 8πGTμν.
Однако при включении квантовых эффектов необходимо учитывать вклады виртуальных частиц и флуктуаций метрики, которые приводят к квантовым коррекциям к классическим уравнениям. В рамках эффективной теории квантовой гравитации метрика можно разложить как:
gμν = ημν + κhμν,
где ημν — фоновая метрика (обычно плоский Минковский вакуум), hμν — квантовое возмущение, а $\kappa = \sqrt{32\pi G}$. Квантовые коррекции проявляются через петли (loop corrections) в функциональном интеграле по метрикам и полям:
Z = ∫????hμν ????ϕ eiS[gμν, ϕ],
где ϕ — дополнительное квантовое поле (например, скалярное, фермионное или векторное). На первом порядке квантовые эффекты модифицируют гравитационный потенциал, приводя к дополнительным членам вида ∼ ℏ/r3 в дальнодействующем пределе.
Ключевой момент: квантовые коррекции не нарушают общую ковариантность, но вводят нелокальные взаимодействия, отражающие влияние виртуальных частиц на геометрию пространства-времени.
Для простейшей ситуации двух масс m1 и m2 на расстоянии r квантовая поправка к Ньютона потенциалу имеет вид:
$$ V(r) = -\frac{G m_1 m_2}{r} \left( 1 + \alpha \frac{G \hbar}{r^2} + \dots \right), $$
где α — численный коэффициент, зависящий от спинов виртуальных полей. Этот эффект крайне мал и проявляется только на расстояниях порядка планковской длины $l_P = \sqrt{\hbar G / c^3}$.
Одним из фундаментальных открытий современной квантовой гравитации является связь энтропии и энтангльмента с геометрией. Для области A в пространстве-времени её энтропия энтангльмента определяется как:
SA = −Tr(ρAln ρA),
где ρA — редуцированная матрица плотности по подпространству A. В контексте теории АдС/КФТ (AdS/CFT correspondence) установлена глубокая связь между энтангльментом на границе и геометрическими свойствами объёма в объёме АдС:
$$ S_A = \frac{\text{Area}(\gamma_A)}{4 G \hbar}, $$
где γA — минимальная поверхность, натянутая на границу региона A. Этот результат показывает, что квантовая информация напрямую связана с кривизной и топологией пространства-времени.
В реальном квантовом поле энтангльмент подвергается коррекциям второго порядка из-за взаимодействий. Формально это можно выразить через поправки к матрице плотности:
ρA = ρA(0) + ℏρA(1) + ℏ2ρA(2) + …
Соответствующая энтропия расщепляется:
SA = SA(0) + ℏSA(1) + ℏ2SA(2) + …
Эти коррекции играют ключевую роль при изучении черных дыр и их информационного парадокса, так как они позволяют учесть энтангльмент между полями внутри и снаружи горизонта событий.
Современный подход рассматривает пространство-время как структуру, формируемую квантовой информацией. Энтангльмент создаёт «плотность ткани» геометрии:
Этот подход формализован через tensor network и holographic entanglement entropy, где геометрические свойства адекватно кодируют информационное содержание квантового состояния.
Квантовые коррекции энтангльмента критичны для понимания термодинамики черных дыр. Энтропия Беккенштейна:
$$ S_{BH} = \frac{k_B A}{4 G \hbar} $$
получает квантовые поправки, включающие логарифмические члены:
$$ S_{BH} = \frac{A}{4 G \hbar} + \beta \ln \frac{A}{G \hbar} + \dots, $$
где β зависит от спектра квантовых полей. Эти поправки отражают энтропию квантового энтангльмента полей вблизи горизонта и позволяют более точно описывать процесс испарения черной дыры.