Квантовая теория поля (КТП) в контексте космологии представляет собой синтез квантовой механики, теории поля и общей теории относительности. Основная цель – описание поведения полей и частиц в условиях расширяющейся Вселенной, где кривизна пространства и динамика метрики оказывают существенное влияние на процессы, которые в плоском пространстве считаются стандартными.
В космологических моделях метрика часто описывается пространством Фридмана–Леметра–Робертсона–Уокера (FLRW):
$$ ds^2 = dt^2 - a^2(t) \left(\frac{dr^2}{1-kr^2} + r^2 d\Omega^2\right), $$
где a(t) — масштабный фактор, определяющий расширение Вселенной, а k = 0, ±1 — пространственная кривизна.
Для скалярного поля ϕ(x) лагранжиан в такой метрике имеет вид:
$$ \mathcal{L} = \frac{1}{2} \sqrt{-g} \left[g^{\mu\nu} \partial_\mu \phi \partial_\nu \phi - m^2 \phi^2 - \xi R \phi^2 \right], $$
где R — скалярная кривизна, ξ — параметр неминимального взаимодействия с кривизной, а g — детерминант метрики.
Каноническое квантование проводится через введение канонических импульсов:
$$ \pi(x) = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{\phi}} = \sqrt{-g} \, g^{00} \dot{\phi}. $$
Процедура квантования заключается в наложении коммутаторных соотношений:
[ϕ(x, t), π(y, t)] = iδ3(x − y),
что позволяет строить операторное представление поля.
Определение вакуума в кривом пространстве неоднозначно, так как нет глобального временного параметра, на основе которого можно однозначно определить частоты мод поля. На практике используются различные подходы:
Неоднозначность выбора вакуума порождает эффекты, такие как рождение частиц из вакуума на фоне расширяющейся Вселенной.
В условиях динамически меняющейся метрики появляются процессы, которые отсутствуют в статическом пространстве:
a(t)ϕ̇ → вакуумные флуктуации → рождение частиц.
Ключевой показатель — спектр квантовых флуктуаций δϕk, который зависит от волнового числа k и функции масштаба a(t). В инфляционных моделях спектр почти гаммаспектральный:
$$ \mathcal{P}_\phi(k) \sim \frac{H^2}{(2\pi)^2}, $$
где H = ȧ/a — параметр Хаббла. Эти флуктуации служат источником формирования структуры Вселенной.
Скалярные поля (s = 0) — наиболее изученный случай, используемый для моделирования инфляции.
Фермионные поля (s = 1/2) — квантование в FLRW требует введения локальной тетрады и спинорных ковариантных производных:
γμDμψ + mψ = 0,
где γμ — кривая гамма-матрица, а Dμ — спинорная ковариантная производная, включающая спиновое соединение.
Векторные поля (s = 1) — описываются лагранжианом Прокоппа–Уиттен (Proca) для массивных полей или лагранжианом Максвелла для массовыхless полей. В космологическом контексте их моды также подвергаются разложению по функциям Бесселя и испытывают квантовые флуктуации.
Энергетический тензор квантового поля ⟨Tμν⟩ играет роль источника в уравнениях Эйнштейна:
Gμν = 8πG⟨Tμν⟩.
Здесь проявляется обратная связь: метрика влияет на квантовые поля, а квантовые поля изменяют динамику метрики. Этот эффект лежит в основе моделей:
В отличие от плоской КТП, ренормировка в кривом пространстве требует учета кривизны. Основные шаги:
Ренормированный энергетический тензор позволяет делать предсказания для космологических наблюдений, таких как спектр космического микроволнового фона.