М-теория и одиннадцатимерная супергравитация

Основы М-теории

М-теория представляет собой гипотетическую фундаментальную структуру, объединяющую все пять известных суперструнных теорий (тип I, тип IIA, тип IIB, гетеротические E₈×E₈ и SO(32)) через систему дуальностей. Ключевой особенностью М-теории является её существование в одиннадцатимерном пространстве-времени с 10 пространственными и 1 временной измерениями, что делает её естественным расширением десяти-мерных суперструнных моделей.

Основная мотивация введения одиннадцатого измерения связана с изучением сильнокоррелированных режимов суперструнных теорий. В частности, при слабой константе связи g_s теория IIA сводится к типичной десяти-мерной струне, тогда как в сильной области взаимодействий проявляется дополнительное измерение с радиусом, пропорциональным g_s, приводя к одиннадцатимерной супергравитации.

Одиннадцатимерная супергравитация

Одиннадцатимерная супергравитация является низкоэнергетическим пределом М-теории и описывается супергравитационным мультиплетом, содержащим:

• метрический тензор g_MN (гравитационное поле),
• антисимметрическое трёхиндексное калибровочное поле C_MNP,
• симплетный спинорный поле ψ_M (гравитино).

Индексы M, N, P = 0, 1, …, 10. Действие одиннадцатимерной супергравитации в каноническом виде имеет вид:

$$ S_{11} = \frac{1}{2\kappa_{11}^2} \int d^{11}x \sqrt{-g} \left( R - \frac{1}{2 \cdot 4!} F_{MNPQ} F^{MNPQ} \right) - \frac{1}{12 \kappa_{11}^2} \int C \wedge F \wedge F + \text{фермионные члены}, $$

где F_MNPQ = ∂_[MC_NPQ] — полевая сила трёхформенного потенциала C, а κ₁₁ — одиннадцатимерная гравитационная константа. Ключевой особенностью действия является круговой член C ∧ F ∧ F, обеспечивающий аномалии и взаимодействие с M2- и M5-бранами.

M-браны: M2 и M5

М-теория вводит новые фундаментальные объекты, которых нет в стандартной суперструнной теории:

• M2-браны: двумерные мембраны, источники трёхформенного поля C_MNP. Динамика M2-браны определяется действием:

$$ S_{M2} = - T_{M2} \int d^3 \xi \sqrt{-\det g_{\mu\nu}} + T_{M2} \int C, $$

где g_μν — индуцированная метрика на мембране, ξ^μ — координаты мира-объема, T_M2 — натяжение M2-браны.

• M5-браны: пятимерные объекты, магнитные двойники M2. Их динамика сложнее из-за самодвойственных трёхформ на мир-объеме, и описывается действием ПСТ (Pasti-Sorokin-Tonin).

M-браны являются ключевыми носителями информации о нелокальных взаимодействиях в М-теории и обеспечивают связь между различными дуальностями суперструнных моделей.

Дуальности и компактные измерения

М-теория проявляет себя через систему дуальностей, связывающих различные суперструнные теории. Основные дуальности:

• S-дуальность: связывает слабую и сильную константы связи.
• T-дуальность: связывает компактные измерения с радиусами $R \leftrightarrow \frac{\alpha'}{R}$.
• U-дуальность: комбинация S- и T-дуальностей в одиннадцатимерной структуре.

Компактификация одиннадцатимерной супергравитации на кальби-яу многообразиях ℳ₇ приводит к различным десяти-мерным теориям, сохраняя ???? = 1 или ???? = 2 супермножества в нижних измерениях. При этом M2- и M5-браны проявляются как D-браны и NS5-браны в десяти-мерных теориях.

Роль M-теории в квантовой гравитации

Главное достижение М-теории — это объединение суперструнных моделей и предоставление единого фреймворка для квантовой гравитации. Она решает фундаментальные проблемы:

• Проблема UV-зависящей квантовой гравитации: одиннадцатимерная супергравитация вкупе с M-бранами дает мягкую ультрафиолетовую структуру через расширение в мембранные и пятимерные объекты.
• Голографическая связь: M-браны служат основой для адS/CFT соответствий в одиннадцати измерениях.
• Механизм возникновения пространства-времени: компактные измерения и динамика M-бран позволяют исследовать фазовые переходы между различными топологиями.

Ключевые математические структуры

М-теория активно использует следующие конструкции:

1. Супералгебра одиннадцати измерений: включает суперзаряды, которые являются источниками M2- и M5-бран.
2. Дифференциальные формы и когомология: трёхформа C_MNP и её полевая сила F₄ лежат в H⁴(ℳ₁₁, ℤ).
3. Калаби-Яу и G₂ многообразия: компактные измерения, сохраняющие часть суперсимметрии.
4. Симметрии U-дуальностей: формализованы через группы E_n, где n зависит от числа компактных измерений.

Связь с другими теориями

• IIA суперструна: при радиусе одиннадцатого измерения R₁₁ ≪ 1 М-теория редуцируется до IIA.
• IIB суперструна: через комбинацию T- и S-дуальностей M-теория обеспечивает непрямое объяснение IIB структуры.
• Heterotic E₈×E₈: M-теория на S¹/ℤ₂ дает граничные теории, соответствующие E₈×E₈ гетеротике.

Применения и исследования

М-теория сегодня служит основным инструментом:

• изучения черных дыр и микро-состояний через M5-браны,
• анализа адС/CFT соответствий, где M2-браны формируют трехмерные конформные теории,
• построения космологических моделей, включая ранние этапы инфляции и фазовые переходы между измерениями.

Её структура продолжает формировать современные подходы к квантовой гравитации, объединяя геометрию, суперсимметрию и мембранную динамику в единую математико-физическую систему.