Эффективная теория поля (ЭТП) — это методологический подход, позволяющий описывать физические процессы при определённом энергетическом масштабе, не требуя знания всех деталей фундаментальной теории на более высоких энергиях. В квантовой гравитации он играет ключевую роль, так как полная теория гравитации на квантовом уровне неизвестна, а анализ динамики полей в режиме энергий, значительно меньших планковского масштаба, становится возможным именно благодаря ЭТП.
Идея заключается в том, что низкоэнергетическая динамика не чувствительна к точной структуре фундаментальных взаимодействий на ультравысоких энергиях, а определяется ограниченным набором операторов в лагранжиане, упорядоченных по их размерности. Таким образом, квантовая гравитация может быть рассмотрена как эффективная теория поля, действительная при энергиях E ≪ MPl.
Классическая общая теория относительности Эйнштейна может быть записана в виде действия Эйнштейна–Гильберта:
$$ S = \frac{1}{16\pi G} \int d^4x \, \sqrt{-g} \, R, $$
где R — скалярная кривизна, G — гравитационная постоянная Ньютона.
С точки зрения ЭТП это действие является ведущим членом разложения лагранжиана по степеням кривизны. При учёте квантовых поправок и интегрировании по высокоэнергетическим степеням свободы появляются дополнительные операторы:
$$ S_{\text{eff}} = \frac{1}{16\pi G} \int d^4x \, \sqrt{-g} \, R + \alpha_1 \int d^4x \, \sqrt{-g} \, R^2 + \alpha_2 \int d^4x \, \sqrt{-g} \, R_{\mu\nu} R^{\mu\nu} + \ldots $$
где коэффициенты αi зависят от интегрированных квантовых флуктуаций. Эти члены подавлены масштабом MPl−2, что гарантирует их малость при энергиях, значительно меньших планковских.
В отличие от стандартных калибровочных теорий, квантовая гравитация в рамках Эйнштейна оказывается неперенормируемой: при учёте всех петлевых диаграмм возникают расходимости, которые невозможно устранить конечным числом контрчленов.
Однако в рамках ЭТП это не является проблемой. Неперенормируемость интерпретируется как признак существования новых физических степеней свободы на более высоких энергиях. Для низких энергий все расходимости поглощаются в коэффициенты при высокоразмерных операторах, которые определяются экспериментом или вычислениями в более фундаментальной теории.
Таким образом, квантовая гравитация трактуется как последовательная эффективная теория до энергий порядка MPl, выше которых требуется переход к полной квантовой теории гравитации (например, теории струн или петлевой квантовой гравитации).
Метод интегрирования по тяжёлым степеням свободы. Высокоэнергетические поля (например, массивные бозоны или гипотетические состояния из более фундаментальной теории) исключаются из описания, а их эффект учитывается через добавление высокоразмерных операторов.
Матрица рассеяния и унитарность. Ключевым инструментом является изучение амплитуд рассеяния гравитонов. При низких энергиях амплитуды оказываются конечными и согласованными с требованиями унитарности, а поправки от высокоразмерных операторов обеспечивают отклонения от чисто классического предсказания.
Метод операторного разложения. Лагранжиан упорядочивается по размерности операторов:
Межмасштабное протекание параметров. Коэффициенты перед операторами подвержены ренормгрупповому течению. Их эволюция с изменением масштаба энергии описывается уравнениями ренормализационной группы, что позволяет прогнозировать поведение гравитационных взаимодействий в различных энергетических режимах.
Хотя квантовые гравитационные поправки подавлены планковским масштабом, в некоторых случаях они дают принципиально новые результаты:
Исправления к закону Ньютона. При учёте квантовых эффектов сила притяжения между телами получает поправки вида $\sim \frac{1}{r^3}$, что является прямым предсказанием ЭТП гравитации. Эти поправки чрезвычайно малы, но имеют фундаментальное значение.
Исправления к космологической динамике. В ранней Вселенной высокоэнергетические эффекты могут усиливаться, и операторы высокой размерности становятся значимыми для космологии инфляционного периода.
Радиативные поправки к гравитационным волнам. При квантовом учёте гравитационные волны приобретают дополнительные фазы и нелокальные члены в эффективном действии.
Эффективная теория гравитации естественным образом объединяется с эффективными теориями материи. Например, интегрирование по квантовым полям Стандартной модели приводит к дополнительным членам в эффективном лагранжиане гравитации. Это связывает квантовую гравитацию с физикой частиц и космологией.
Особое значение имеют члены вида
$$ \int d^4x \, \sqrt{-g} \, \phi^2 R, $$
где ϕ — скалярное поле. Такие взаимодействия играют ключевую роль в инфляционных моделях и в сценариях модифицированной гравитации.
Методы ЭТП позволяют описывать также нелокальные квантовые эффекты, возникающие в криволинейном пространстве-времени. Примером является эффективное действие, содержащее члены вида
$$ R \frac{1}{\Box} R, $$
которые возникают после интегрирования по квантовым полям материи. Эти нелокальные структуры играют важную роль в описании испарения чёрных дыр и в космологии.
Кроме того, в рамках голографических принципов предполагается, что ЭТП может быть лишь проекцией более фундаментальной теории, где гравитация описывается в терминах границы пространства (например, в AdS/CFT-соответствии).