Модель Баррета-Крейна и спиновая пена Лоренца

Модель Баррета-Крейна представляет собой одно из ключевых предложений в области квантовой гравитации, основанной на формализме спиновой пены. Она является развитием идей Ровелли и Пьера, направленных на квантование геометрии пространства-времени. Центральная цель модели — построить динамику четырехмерной квантовой геометрии, используя дискретную структуру, формализованную через представления группы Лоренца SL(2, ℂ).

Модель Баррета-Крейна характеризуется следующими особенностями:

  1. Фундаментальные элементы:

    • Вершины (vertices) и рёбра (edges) соответствуют дискретным “клеткам” пространства-времени.
    • Лицевая область (faces) ассоциируется с двумерными гранью тесселяции 4-мерного многообразия.

  2. Квантование площади: Каждая грань лицевой области получает метку, соответствующую представлению группы SL(2, ℂ). Эти представления непосредственно связаны с квантованной величиной площади через спектр операторов геометрических величин.

  3. Пространство состояний: В модели Баррета-Крейна состояние четырехмерной геометрии кодируется функцией от четырёхгранников, ассоциированных с вершинами симплициального комплекса. Состояния формируют гильбертово пространство с внутренней нормой, определяемой интегралом по группе Лоренца.

Спиновая пена Лоренца

Спиновая пена — это подход к квантовой гравитации, в котором траектории “историй” геометрических конфигураций представляются как 2-комплекс, вершины и рёбра которого несут метки представлений группы Лоренца. В отличие от спиновых сетей, которые описывают стационарные квантовые состояния, спиновая пена вводит динамику, позволяя рассматривать эволюцию этих состояний.

Ключевые элементы:

  1. 2-комплекс:

    • Вершины v соответствуют взаимодействиям квантовых тесселирований пространства.
    • Рёбра e несут данные о транспортировке квантовой геометрии между вершинами.
    • Грани f кодируют квантованные площади и участвуют в построении амплитуд.

  2. Амплитуды конфигураций: Каждое лицо f ассоциируется с весом dim(jf), где jf — представление SU(2) внутри разложения SL(2, ℂ). Вершины получают амплитуду, которая вычисляется через интегралы по группе Лоренца, часто с использованием 15j-символов Барбера — Крейна для четырёхмерной структуры.

  3. Проекция к простоте: Модель Баррета-Крейна использует так называемое условие простоты — ограничение, которое связывает две группы SU(2) внутри SL(2, ℂ), что отражает физическую идею, что двумерная площадь в 4-мерном пространстве-времени должна быть “простым” би-вектором.

Динамика и квантовые амплитуды

Динамика спиновой пены Лоренца формализуется через сумму по конфигурациям, аналогичную интегралу по траекториям в квантовой механике:

Z = ∑all labels∏fAf∏eAe∏vAv

где:

  • Af — амплитуда лица, связанная с квантованной площадью;
  • Ae — амплитуда рёбра, отражающая “связность” между гранями;
  • Av — амплитуда вершины, определяющая локальную динамику тесселяции.

Особенности модели Баррета-Крейна:

  • Каждая конфигурация связана с 4-симплексом, где вершины и грани задают полный набор квантовых чисел.
  • Проекция к простоте уменьшает размер пространства состояний, но сохраняет ковариантность относительно группы Лоренца.
  • Амплитуды моделей Баррета-Крейна обладают асимптотическим соответствием классической геометрии: в пределе больших квантовых чисел 4-симплекс ведет себя как классический тесселированный объект.

Геометрические операторы и спектры

В спиновой пене Лоренца ключевую роль играют операторы геометрических величин:

  1. Оператор площади Âf:

    $$ \hat{A}_f |j_f\rangle = 8\pi \ell_P^2 \sqrt{j_f(j_f+1)} \, |j_f\rangle $$

    где jf — квантовое число лица, ℓP — планковская длина.

  2. Оператор объема V̂v: Вычисляется через комбинаторную функцию 15j-символов и определяет объем 4-симплекса, соответствующего вершине v. Спектр объема дискретен, что отражает квантовую природу пространства.

Эти операторы удовлетворяют ковариантным условиям группы Лоренца, обеспечивая согласованность с принципами общей теории относительности в квантовом пределе.

Связь с другими подходами

Модель Баррета-Крейна служит мостом между:

  • Классической гравитацией: через асимптотический предел больших квантов, где амплитуды спиновой пены сводятся к экспоненте действия Гильберта-Пейчонского.
  • Спиновыми сетями: модель Баррета-Крейна является “динамической версией” спиновых сетей, добавляя временную эволюцию через спиновую пену.
  • Петлевым квантованием: операторы геометрических величин в спиновой пене Лоренца совпадают с квантовыми операторами в петлевой квантовой гравитации, обеспечивая совместимость формализмов.
Оглавление