В обычной квантовой теории поля в плоском пространстве-времени частицы определяются как кванты поля, соответствующие собственным состояниям энергии. В частности, выбор базиса мод поля связан с выбором координатного времени и, как следствие, с понятием положительной энергии. Для плоского пространства-времени, описываемого метрикой Минковского, этот выбор однозначен, что позволяет точно определить вакуум и частицы.
В искривленном пространстве-времени ситуация принципиально отличается. Метрика gμν(x) зависит от координат, что приводит к отсутствию глобальной симметрии времени. Отсутствие глобального генератора временных трансляций делает неопределённым понятие «положительной энергии», а значит — и вакуума. В этом случае квантовые моды поля могут быть описаны различными базисами, каждый из которых порождает свой вакуум.
Если обозначить поле ϕ(x), оно удовлетворяет уравнению
(□g + m2 + ξR)ϕ(x) = 0,
где □g = gμν∇μ∇ν — оператор Д’Аламбера в искривленном пространстве-времени, m — масса частицы, R — скалярная кривизна, а ξ — параметр связи с кривизной. Решения этого уравнения представляют собой моды поля {ui(x)}, которые формируют базис гильбертова пространства.
Понятие частиц определяется через разложение поля по модам:
ϕ(x) = ∑i(aiui(x) + ai†ui*(x)),
где ai, ai† — операторы уничтожения и создания. Вакуум |0⟩ определяется условием ai|0⟩ = 0. В искривленном пространстве-времени возможны различные разложения:
ϕ(x) = ∑i(bivi(x) + bi†vi*(x)),
и соответствующие операторы bi создают иной вакуум |0′⟩, который физически может отличаться от |0⟩. В этом контексте понятие частиц становится зависимым от выбора базиса, что проявляется в эффектах типа эффекта Унру.
Эффект Унру показывает, что наблюдатель, движущийся с постоянным ускорением a в вакууме Минковского, обнаруживает тепловое излучение с температурой
$$ T = \frac{\hbar a}{2\pi k_B c}. $$
Это означает, что понятие «частицы» не является абсолютным: то, что один наблюдатель считает вакуумом, для другого — пространство, заполненное частицами. Формально это описывается преобразованием Богуолубова между модами поля:
vi = ∑j(αijuj + βijuj*),
где коэффициенты αij, βij удовлетворяют условию канонической коммутативности. Плотность частиц в вакууме |0⟩ определяется как
⟨0|bi†bi|0⟩ = ∑j|βij|2,
что демонстрирует рождение частиц в зависимости от наблюдателя.
В космологии понятие частиц критически связано с метрикой Фридмана–Леметра–Робертсона–Уокера (FLRW):
ds2 = dt2 − a2(t)dx2.
Поля разлагаются по модам вида
$$ \phi(\mathbf{x},t) = \int \frac{d^3k}{(2\pi)^3} \left( a_\mathbf{k} u_k(t) e^{i \mathbf{k}\cdot\mathbf{x}} + a_\mathbf{k}^\dagger u_k^*(t) e^{-i \mathbf{k}\cdot\mathbf{x}} \right), $$
где uk(t) удовлетворяют уравнению:
$$ \ddot{u}_k + 3 \frac{\dot{a}}{a}\dot{u}_k + \left( \frac{k^2}{a^2} + m^2 \right) u_k = 0. $$
Поскольку коэффициенты перед модами зависят от времени, выбор вакуума становится неоднозначным. В результате расширение Вселенной может создавать частицы из «начального» вакуума, что формализуется через преобразование Богуолубова между «ранним» и «поздним» временами.
Эффект создания частиц гравитацией возникает, когда метрика меняется во времени или пространстве. Математически это выражается через:
nk = |βk|2,
где βk — коэффициент преобразования Богуолубова между модами на раннем и позднем этапах эволюции метрики. Это явление имеет ключевое значение для теории ранней Вселенной, в частности для сценариев инфляции, когда реликтовые квантовые возмущения преобразуются в реальные частицы.
Несмотря на фундаментальную неоднозначность, определение частиц в искривленном пространстве-времени имеет экспериментальные последствия:
Таким образом, в искривленном пространстве-времени понятие частиц становится относительным и тесно связано с геометрией и состоянием наблюдателя, что является ключевым элементом квантовой гравитации и современной космологии.