В квантовой гравитации, как и в других квантовых теориях поля, расчёты взаимодействий частиц на высоких энергиях приводят к возникновению дивергентных интегралов. Эти дивергенции проявляются при вычислении петлевых поправок в теории, аналогично случаям в квантовой электродинамике (КЭД), но с существенными особенностями, связанными с нелинейной природой гравитационного взаимодействия.
Гравитация описывается метрикой gμν, и действие Эйнштейна-Гильберта имеет вид:
$$ S = \frac{1}{16 \pi G} \int d^4x \, \sqrt{-g} \, R, $$
где R — скаляр кривизны Риччи, G — гравитационная постоянная. При квантовании в рамках петлевых поправок появляются интегралы, которые ведут к ультрафиолетовым (UV) дивергенциям, поскольку гравитационный потенциал не имеет масштабного ограничения.
Для устранения этих дивергенций применяется перенормировка (renormalization) — процедура введения контртермов в лагранжиан теории:
ℒ → ℒ + δℒ.
Контртермы подбираются так, чтобы компенсировать бесконечные части петлевых интегралов, оставляя конечные физические наблюдаемые величины. В отличие от КЭД, где теория является ренормализуемой, стандартная квантовая гравитация на основе действия Эйнштейна-Гильберта оказывается неренормируемой: для каждой следующей петли необходимо добавлять новые контртермы, соответствующие более высоким порядкам кривизны (например, R2, RμνRμν).
В теории поля введение перенормированных констант (масса, константа связи, поле) позволяет определить масштаб перенормировки μ, на котором фиксируются физические параметры. Для квантовой гравитации это выражается через зависимость гравитационной постоянной G(μ) от энергетического масштаба.
Пусть Γ — эффективное действие, зависящее от μ. Тогда изменение масштаба описывается уравнением ренормализационной группы (RG):
$$ \mu \frac{d G(\mu)}{d\mu} = \beta_G(G(\mu)), $$
где βG — бета-функция, определяющая поведение гравитационной постоянной при изменении масштаба энергии. В контексте асимптотической безопасности (Weinberg, 1979) предполагается существование **нетривиальной фиксированной точки $ G_* $ **, при которой
βG(G*) = 0.
Это означает, что на очень высоких энергиях гравитация становится предсказуемой, несмотря на начальную неренормируемость.
Метод ренормализационной группы позволяет не только анализировать дивергенции, но и исследовать масштабную зависимость физических процессов:
Ренормализационная группа также позволяет учитывать эффект квантовых поправок к метрике, таких как появление скейлинговых поправок к Ньютона силе:
$$ V(r) \approx - \frac{G}{r} \left(1 + \alpha \frac{\hbar G}{r^2} + \dots \right), $$
где α — константа, определяемая структурой контртермов и петлевых диаграмм.
В практике квантовой гравитации часто используют эффективную теорию поля (EFT), в рамках которой лагранжиан расширяется через высокопорядковые термины кривизны:
$$ \mathcal{L}_{\rm eff} = \frac{1}{16 \pi G} R + c_1 R^2 + c_2 R_{\mu\nu}R^{\mu\nu} + \dots $$
Каждый коэффициент ci зависит от масштаба μ и подчиняется уравнениям ренормализационной группы. Такой подход позволяет последовательно учитывать квантовые эффекты на энергиях ниже планковского масштаба, не требуя полной ренормализуемости теории.
Бета-функции для различных коэффициентов в лагранжиане отражают поток RG:
$$ \mu \frac{d c_i(\mu)}{d\mu} = \beta_i(c_j(\mu)), $$
где каждая βi зависит от всех остальных контртермов. Поиск физически допустимых фиксированных точек, при которых все βi = 0, является ключевым шагом в построении UV-завершённой теории гравитации.
Фиксированные точки бывают:
Наличие UV-фиксированной точки делает возможной асимптотическую безопасность, а IR-фиксированная точка гарантирует согласованность с наблюдаемой Вселенной.