Петлевые переменные Ашкар-Барберо

1. Основная идея петлевой формализации

В традиционной канонической квантовой гравитации (формализм АДМ) динамика пространства-времени описывается через метрический тензор q_ab и сопряжённый импульс P^ab. Однако, такая форма записи осложняет задачу квантования из-за нелинейности и сложной структуры гамильтониана. Петлевая квантовая гравитация (ПКГ) предлагает альтернативу, опираясь на калибровочные поля и использование так называемых петлевых переменных Ашкар-Барберо.

Эти переменные преобразуют задачу квантования геометрии в задачу квантования теории калибровки SU(2), что делает формализм более управляемым на математическом уровне. Основное наблюдение состоит в том, что пространство-гибель (3-мерная гиперповерхность) можно описывать через коннекцию A_aⁱ и денситезованную тетрадь E_i^a, вместо метрики и её сопряжённого импульса.

---

2. Определение переменных Ашкар-Барберо

Коннекция Ашкар-Барберо определяется как

A_aⁱ = Γ_aⁱ + βK_aⁱ,

где:

• Γ_aⁱ — спиновая коннекция, совместимая с 3-метрикой q_ab;
• K_aⁱ — компоненты внешней кривизны K_ab, записанные в тетрадах;
• β — параметр Барберо, который может быть вещественным или комплексным;
• индексы a, b, c = 1, 2, 3 обозначают координаты на гиперповерхности, i, j, k = 1, 2, 3 — внутренние индексы SU(2).

Сопряжённая переменная — денситезованная тетрадь:

$$ E^a_i = \frac{1}{2} \epsilon^{abc} \epsilon_{ijk} e^j_b e^k_c, $$

где e_aⁱ — обычная три-тетрада на пространстве. Эти переменные удовлетворяют каноническому коммутационному соотношению:

{A_aⁱ(x), E_j^b(y)} = β δ_a^b δ_jⁱ δ³(x − y).

Ключевой момент: использование переменных A_aⁱ и E_i^a превращает фазовое пространство общей теории относительности в фазовое пространство SU(2)-группы, что позволяет применить методы калибровочной теории для квантования.

---

3. Структура гамильтоновой системы

В петлевом подходе гамильтониан общей теории относительности выражается через три типа ограничений:

1. Гауссово ограничение (SU(2)-калибровка):

G_i = ????_aE_i^a = ∂_aE_i^a + ϵ_ijkA_a^jE_k^a ≈ 0

обеспечивает локальную SU(2)-инвариантность.

2. Векторное (диффеоморфизмное) ограничение:

V_a = E_i^bF_abⁱ ≈ 0,

где F_abⁱ = ∂_aA_bⁱ − ∂_bA_aⁱ + ϵ_jkⁱA_a^jA_b^k — кривизна коннекции. Оно отвечает за пространственные диффеоморфизмы гиперповерхности.

3. Скалярное (гамильтоновское) ограничение:

S = ϵ^ijkE_i^aE_j^b(F_ab^k − (1 + β²)ϵ_mn^kK_a^mK_bⁿ) ≈ 0,

которое задаёт динамику системы.

Эти ограничения полностью описывают каноническую структуру общей теории относительности в переменных Ашкар-Барберо.

---

4. Петли и гольстейны

Для перехода к квантовой теории вводятся голоноиды (holonomies) — параллельные переносы вдоль кривой γ на гиперповерхности:

h_γ[A] = ????exp ∫_γA_aⁱτ_idx^a,

где τ_i — генераторы SU(2). Голоноиды обладают ключевыми свойствами:

• являются единичными матрицами SU(2), что обеспечивает компактность пространства конфигураций;
• не зависят от параметризации кривой, а только от её траектории;
• позволяют выразить основные геометрические операторы (длину, площадь, объём) через алгебраические комбинаторные структуры.

Петли образуются замыканием голоноидов: γ : [0, 1] → Σ, γ(0) = γ(1). Петлевая структура играет роль «атомов квантовой геометрии».

---

5. Квантование

В квантовой петлевой гравитации основными операторами являются:

1. Оператор голоноида:

ĥ_γψ[A] = h_γ[A]ψ[A],

действует умножением на функционал от коннекции.

2. Оператор денситезованной тетрады:

$$ \hat{E}^a_i(S) \psi[A] = -i \hbar \beta \frac{\delta}{\delta A^i_a(x)} \psi[A], $$

который можно интегрировать по поверхности S.

Эти операторы строят алгебру квантовой геометрии, где геометрические величины (площадь, объём) имеют дискретный спектр. Например, оператор площади Â_S имеет собственные значения:

$$ A_S = 8 \pi \ell_P^2 \beta \sum_i \sqrt{j_i (j_i + 1)}, $$

где j_i — спины на пересечении петли с поверхностью, ℓ_P — планковская длина. Это фундаментально отличается от классической непрерывной геометрии.

---

6. Значение параметра Барберо

Параметр β (Barbero–Immirzi parameter) является свободным вещественным числом.

• Он не влияет на классическую динамику, но меняет спектр квантовых операторов геометрии.
• Величина β может быть определена через сравнение с термодинамикой черных дыр (например, через формулу Бекенштейна–Хокинга).
• Выбор β = i (комплексная коннекция) приводит к самосопряжённой Ashtekar–Rovelli–Smolin коннекции, что упрощает гамильтоновское ограничение, но усложняет структуру пространства гильберта.

---

7. Основные достижения и перспективы

Петлевая формализация позволяет:

• Структурировать квантовую геометрию как дискретное образование на планковских масштабах;
• Выводить спектры геометрических операторов, что даёт прогнозы для квантовой структуры пространства;
• Обеспечить подход к решению информационного парадокса черных дыр, через микросостояния, представленные спин-сетями;
• Интегрировать с теориями поля, где петли и голоноиды позволяют строить фон-независимые квантовые теории калибровки.

Петлевые переменные Ашкар-Барберо стали фундаментом для петлевой квантовой гравитации, открывая путь к строгому математическому описанию квантовой динамики пространства-времени.