Принцип эквивалентности является фундаментальной основой современной теории гравитации и квантовой гравитации. Он утверждает, что локальные эффекты гравитационного поля неотличимы от эффектов, возникающих в ускоренно движущейся системе отсчёта. Существует несколько формулировок принципа эквивалентности, каждая из которых имеет свои последствия для геометрической интерпретации гравитации.
Слабый принцип эквивалентности формулируется как равенство инерциальной массы mi и гравитационной массы mg:
mi = mg.
На практике это означает, что все тела в одинаковых гравитационных полях ускоряются с одинаковой ускорением, независимо от их внутреннего состава и структуры. Экспериментальная проверка слабого принципа эквивалентности проводится с помощью крутильных весов и наблюдений за движением тел в свободном падении. Ошибки измерений в современных экспериментах не превышают 10−14, что подтверждает чрезвычайную точность принципа.
Сильный принцип эквивалентности расширяет идею слабого принципа на все законы физики. Он утверждает, что в локальной инерциальной системе отсчёта (свободно падающей системе) выполняются все законы физики специальной теории относительности, включая законы электромагнетизма и квантовой механики. Важное следствие сильного принципа эквивалентности заключается в том, что гравитационное поле может быть полностью описано через геометрию пространства-времени.
Геометризация гравитации — это концепция, согласно которой гравитационные эффекты проявляются как свойства кривизны пространства-времени. Центральным объектом в этом подходе является метрический тензор gμν, который определяет локальную структуру пространства-времени и расстояния между точками. Движение свободных частиц описывается геодезическими линиями, которые являются обобщением прямых линий в искривлённом пространстве:
$$ \frac{d^2 x^\lambda}{d \tau^2} + \Gamma^\lambda_{\mu\nu} \frac{dx^\mu}{d \tau} \frac{dx^\nu}{d \tau} = 0, $$
где Γμνλ — символы Кристоффеля, определяемые через метрический тензор:
$$ \Gamma^\lambda_{\mu\nu} = \frac{1}{2} g^{\lambda\sigma} \left( \partial_\mu g_{\nu\sigma} + \partial_\nu g_{\mu\sigma} - \partial_\sigma g_{\mu\nu} \right). $$
Этот подход обеспечивает естественное объяснение гравитационного красного смещения и отклонения света вблизи массивных тел. Методы геометризации становятся основой для построения квантовых теорий гравитации.
Понятие локальной инерциальной системы является ключевым при переходе от классической к квантовой гравитации. В каждой точке кривого пространства можно ввести координаты, в которых метрический тензор принимает локально плоскую форму:
gμν(x0) = ημν, ∂αgμν(x0) = 0,
где ημν — метрический тензор Минковского. В этих координатах локальные законы физики совпадают с законами специальной теории относительности. Квантовые поля, определённые в таких системах, можно анализировать аналогично обычной квантовой теории поля в плоском пространстве, что является отправной точкой для квантовой гравитации.
Для описания гравитационного поля в терминах геометрии вводится тензор кривизны Римана R σμνρ, который характеризует искривление пространства-времени:
R σμνρ = ∂μΓνσρ − ∂νΓμσρ + ΓμλρΓνσλ − ΓνλρΓμσλ.
Кривизна проявляется как сила, отклоняющая геодезические линии относительно друг друга, что соответствует эффектам, наблюдаемым как гравитационное притяжение. Для скалярного описания кривизны используется скаляр Риччи R = gμνRμν, где Rμν — тензор Риччи, полученный свёрткой тензора Римана.
Принцип эквивалентности накладывает ограничения на построение квантовых теорий поля в искривлённом пространстве. Квантовые поля должны быть локально согласованы с геометрией, что приводит к необходимости введения ковариантных производных и векторных связей для спинорных и калибровочных полей. Например, для спиноров вводится спиновая связь ωμab, которая обеспечивает корректное преобразование спиноров в кривом пространстве:
$$ \nabla_\mu \psi = \partial_\mu \psi + \frac{1}{4} \omega_\mu^{ab} \gamma_a \gamma_b \psi. $$
Эти конструкции позволяют формализовать взаимодействие квантовых полей с гравитацией без нарушения принципа эквивалентности.
Глубокое понимание принципа эквивалентности и геометризации гравитации является необходимым шагом для построения теорий квантовой гравитации, включая подходы через петлевую квантовую гравитацию и теории струн, где фундаментальное значение имеют локальная симметрия и искривление пространства-времени.