В квантовой гравитации фундаментальный вопрос о природе времени становится особенно острым. В классической механике и квантовой механике время рассматривается как внешний параметр, относительно которого эволюционирует система. В общей теории относительности (ОТО) время интегрировано в динамическую структуру пространства-времени, зависящую от распределения энергии и материи. Эта принципиальная разница порождает проблему времени, когда пытаются объединить квантовую механику с общей теорией относительности.
В квантовой механике состояние системы описывается вектором состояния |ψ(t)⟩, который подчиняется уравнению Шрёдингера:
$$ i\hbar \frac{\partial}{\partial t} |\psi(t)\rangle = \hat{H} |\psi(t)\rangle, $$
где Ĥ — гамильтониан системы. Время t здесь является параметром, а не оператором. В ОТО же нет глобального параметра времени: пространство-время и его метрика gμν подчиняются уравнениям Эйнштейна:
$$ G_{\mu\nu} + \Lambda g_{\mu\nu} = \frac{8\pi G}{c^4} T_{\mu\nu}. $$
При переходе к квантовой гравитации возникает конфликт: как описывать эволюцию волновой функции Вселенной без внешнего времени?
Ключевой подход к квантовой гравитации в каноническом формализме приводит к уравнению Вилера–ДеВитта. Начинают с 3+1 разложения ADM (Arnowitt–Deser–Misner), где пространство-время разбивается на пространственные срезы с метрикой hij и её сопряжёнными импульсами πij. Квантование канонических переменных ведет к операторному уравнению:
$$ \hat{\mathcal{H}} \Psi[h_{ij}] = 0, $$
где $\hat{\mathcal{H}}$ — гамильтонианная конструкция, а Ψ[hij] — волновая функция геометрии пространства. Заметьте, что нет явного времени, волновая функция зависит только от конфигурации 3-геометрии.
Уравнение Вилера–ДеВитта символизирует статичность волновой функции Вселенной. Любые наблюдаемые процессы должны быть извлечены через внутренние или условные переменные, а не через глобальный параметр времени.
Одним из способов преодолеть отсутствие внешнего времени является введение внутреннего времени, основанного на динамике некоторых степеней свободы, например, скалярного поля или масштаба Вселенной. В этом случае:
$$ \hat{H}_{\text{matter}} \Psi(h_{ij}, \phi) = i \hbar \frac{\partial}{\partial \phi} \Psi(h_{ij}, \phi), $$
где ϕ играет роль «времени» относительно которого эволюционируют другие переменные. Такой подход называется условной или релятивной квантовой механикой и позволяет формализовать динамику без внешнего параметра.
В квантовой гравитации возникает фундаментальная трудность определения наблюдаемых величин, так как координаты и метрика становятся операторными. В рамках канонического формализма можно выделять диффеоморфно-инвариантные наблюдаемые, которые не зависят от выбора среза времени:
Любая попытка ввести наблюдаемое «время» связано с выбором конкретного физического процесса как часового стандарта, что отражает отношенческий характер времени в квантовой гравитации.
В космологическом контексте проблема времени проявляется в виде квантовой космологии. Например, в модели Фридмана–Леметра–Робертсона–Уокера (FLRW) волновая функция Ψ(a, ϕ) зависит от масштаба a(t) и скалярного поля ϕ(t). Выбор ϕ как внутреннего времени позволяет восстановить динамику для a и других полей. Такой подход позволяет рассматривать квантовые туннелирования, эволюцию ранней Вселенной и проблемы сингулярности.
Существуют несколько направлений, пытающихся обойти проблему времени:
Проблема времени в квантовой гравитации является одной из центральных фундаментальных трудностей теоретической физики, и её решение требует глубокого пересмотра привычных представлений о пространстве, времени и динамике.