Регге-исчисление и дискретная гравитация

1. Основы регге-исчисления

Регге-исчисление (Regge calculus) представляет собой метод дискретизации пространства-времени, позволяющий описывать гравитацию в терминах конечного числа геометрических элементов. Основная идея заключается в замене гладкой римановой геометрии на сетку из простых тессераций — симплексных комплексных структур (треугольников в 2D, тетраэдров в 3D и 4-симплексов в 4D).

Вместо непрерывной метрики gμν(x) вся информация о геометрии содержится в длинах рёбер симплексов. Кривизна концентрируется на нижеразмерных “костях” (hinges): в 2D это вершины, в 3D — рёбра, в 4D — трёхмерные грани (тетраэдры).

Основная формула кривизны в регге-исчислении выражается через угловой дефицит:

ϵh = 2π − ∑σ ⊃ hθhσ

где θhσ — углы при костях h в симплексе σ, сумма берётся по всем симплексам, содержащим данную кость. Угловой дефицит ϵh является дискретным аналогом кривизны Римана, а в пределе мелкой сетки ϵh/Vh → R, где Vh — объём кости, и R — скалярная кривизна.

2. Дискретный вариант действия Эйнштейна–Гильберта

Классическое действие Эйнштейна–Гильберта в регге-формализме принимает вид:

$$ S_\text{Regge} = \frac{1}{8\pi G} \sum_{h} A_h \, \epsilon_h $$

где сумма берётся по всем костям h, Ah — площадь кости (в 4D это объём трёхмерной грани), ϵh — угловой дефицит.

Этот дискретный вариант действия сохраняет вариационное свойство: вариация по длинам рёбер le даёт уравнения движения для рёбер, аналогичные уравнениям Эйнштейна в непрерывной теории:

$$ \frac{\partial S_\text{Regge}}{\partial l_e} = 0 $$

Эти уравнения определяют геометрию сетки, обеспечивая локальное соответствие кривизны и распределению энергии и материи (если добавляется дискретная версия тензора энергии–импульса).

3. Преимущества дискретной формулировки

  1. Естественная регуляризация ультрафиолетовых особенностей — сетка автоматически вводит минимальный масштаб длины, что особенно важно для квантовой гравитации.
  2. Геометрическая прозрачность — вся информация о кривизне и геометрии выражается через конечное число параметров (длины рёбер), что упрощает численные методы.
  3. Применимость к топологически сложным пространствам — легко учитывать непериодические, дискретные или сложные топологии.

4. Квантовая регге-гравитация

В квантовой версии теория формулируется через путь интеграл по всем геометриям сетки:

Z = ∫∏edle μ(le) eiSRegge[le]/ℏ

где μ(le) — мера интегрирования, учитывающая симплексную структуру и условия треугольника (например, выполнение неравенств треугольника для рёбер).

Особенности квантового подхода:

  • Дискретная спектральная структура: длины рёбер играют роль квантовых переменных, что даёт естественную гранулярность пространства-времени.
  • Аппроксимация гладкой метрики: в пределе большого числа симплексов и малых длин рёбер регге-путь интеграл должен воспроизводить классическую общую теорию относительности.
  • Возможность численного моделирования: метод Монте-Карло на сетках позволяет исследовать динамику квантовой геометрии, фазовые переходы и свойства микроскопической структуры пространства-времени.

5. Связь с другими дискретными подходами

Регге-исчисление является основой для нескольких современных направлений:

  • Каноническая квантовая гравитация (Loop Quantum Gravity): динамика спин-сетей тесно связана с дискретной геометрией, где длины рёбер и площади граней становятся квантовыми операторами.
  • Дискретная модель спин-фoмов (Spin Foam Models): развитие регге-гравитации к квантовой версии через суммы по двумерным лицам, где угловые дефициты и площади рёбер реализуются как спиновые переменные.
  • Динамическая триангуляция (Causal Dynamical Triangulations, CDT): методика генерации случайных триангуляций с условием причинной структуры, позволяющая изучать квантовую флуктуацию пространства-времени на больших масштабах.

6. Ограничения и вызовы

  1. Нарушение диффеоморфной инвариантности на дискретном уровне — хотя регге-формализм воспроизводит диффеоморфную инвариантность в пределе, на конечных сетках она частично теряется.
  2. Выбор меры интегрирования — квантовый путь интеграл чувствителен к способу задания меры μ(le), что влияет на физические прогнозы.
  3. Численные трудности при больших симплексных комплексах — количество рёбер растёт экспоненциально с размерностью, усложняя моделирование.

7. Практические применения

  • Исследование фазовых переходов квантовой геометрии: регге-сетки позволяют выявить критические точки между “расслабленной” и “связной” структурой пространства-времени.
  • Моделирование космологических сценариев: ранняя Вселенная, черные дыры и сингулярности могут быть изучены в дискретной геометрии без необходимости гладкой метрики.
  • Сравнение с экспериментальными данными: квантовые флуктуации сетки могут давать предсказания для спектра гравитационных волн и микроструктуры пространства-времени.
Оглавление