Одной из фундаментальных проблем квантовой гравитации является появление ультрафиолетовых расходимостей в интегралах по петлевым диаграммам. Попытка применить стандартный формализм квантовой теории поля к метрике пространства-времени сталкивается с необходимостью введения процедур, аналогичных регуляризации в других теориях взаимодействий. Однако специфика гравитации — тензорный характер поля и универсальность его взаимодействия — приводит к тому, что традиционные методы регуляризации требуют адаптации.
Методы регуляризации:
Срез по импульсам (cut-off regularization). Введение предельного значения для импультов в интегралах Фейнмана. Несмотря на простоту, метод нарушает ковариантность и поэтому редко используется в гравитационных вычислениях.
Регуляризация размерности. Наиболее распространённый метод, основанный на аналитическом продолжении размерности пространства-времени с целого числа D на комплексное. При этом расходимости проявляются как полюса при D → 4. Метод сохраняет общую ковариантность и является стандартным инструментом при вычислениях в петлевой квантовой гравитации.
Зета-функциональная регуляризация. Используется в вычислениях функциональных определителей, возникающих при квантовании метрики. Метод опирается на аналитическое продолжение спектральных сумм и особенно эффективен при исследовании квантовых эффектов в кривых фонах, например в окрестности чёрных дыр.
Гауссовское сглаживание и метод Паули–Вилларса. Введение дополнительных полей-регуляторов с большими массами позволяет компенсировать расходимости. Однако для гравитации этот метод оказывается менее удобным из-за необходимости поддержания диффеоморфизм-инвариантности.
В отличие от калибровочных теорий, таких как квантовая электродинамика или квантовая хромодинамика, квантовая гравитация на основе общей теории относительности оказывается неперенормируемой. Это связано с размерностью константы Ньютона:
[G] = M−2,
что приводит к необходимости включения всё большего числа членов с ростом порядка возмущений. Таким образом, при стандартном подходе появляется бесконечное множество контрчленов, что лишает теорию предсказательной силы.
Пример:
Современный взгляд на проблему основан на концепции эффективной полевой теории. Согласно ей, общая теория относительности может рассматриваться как низкоэнергетическое приближение более фундаментальной теории. В этом случае добавление к действию членов более высокого порядка по кривизне (например, R2, RμνRμν) трактуется как естественное. Такие поправки подавлены степенями E/MPl, где MPl — планковская масса.
Таким образом, квантовая гравитация в эффективном подходе не становится предсказательной при высоких энергиях, но даёт корректные результаты для квантовых поправок при энергиях, существенно меньших планковских.
Для вычислений на фоне фиксированной метрики (например, в космологии или около чёрных дыр) используются методы перенормировки в криволинейных пространствах. Особое значение имеют:
Эти подходы позволяют получать квантовые поправки к энергии вакуума, энтропии чёрных дыр и космологической постоянной.
Разработка квантовой гравитации стимулировала появление новых идей в области регуляризации:
Дискретизация пространства-времени. В петлевой квантовой гравитации или в каузальных динамических триангуляциях используется представление о дискретной структуре пространства-времени. Дивергенции в этом случае устраняются на уровне фундаментальной структуры.
Струнная теория. Введение одномерных протяжённых объектов вместо точечных частиц автоматически смягчает ультрафиолетовые расходимости. В этом смысле струнная теория может рассматриваться как естественная регуляризация квантовой гравитации.
Асимптотическая безопасность (Weinberg). Гипотеза о существовании ультрафиолетовой фиксированной точки ренормгруппы, при которой теория становится самосогласованной и предсказательной на всех масштабах. Исследования функциональной ренормгруппы дают поддержку этой программе, хотя окончательных результатов пока нет.
Несмотря на формальный характер многих процедур, они имеют глубокий физический смысл. Регуляризация показывает, что привычное описание пространства-времени перестаёт быть применимым на малых масштабах, а перенормировка отражает необходимость включения новых физических степеней свободы. Таким образом, исследование этих процессов в квантовой гравитации позволяет выявить границы применимости классической геометрической картины и указывает направление к построению более фундаментальной теории.