Релятивистская струна рассматривается как одномерный объект, протяжённый во времени и пространстве, эволюция которого описывается функцией Xμ(τ, σ), где τ — временной параметр, а σ — пространственная координата вдоль струны. Важнейшим элементом формализма является лагранжиан Наблюдателя Нерелятивистской Струны, или лагранжиан Нерсетры, который в релятивистской постановке принимает вид:
$$ \mathcal{L} = -T \sqrt{-\det h_{\alpha \beta}}, $$
где T — натяжение струны, а hαβ — индуцированная метрика на мировом листе, заданная как:
hαβ = ∂αXμ∂βXμ, α, β ∈ {τ, σ}.
Данный лагранжиан является инвариантным относительно диффеоморфизмов мирового листа, что обеспечивает релятивистскую ковариантность теории.
Каноническое квантование начинается с перехода от лагранжиана к гамильтониану через стандартные процедуры:
$$ \Pi_\mu(\sigma) = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{X}^\mu(\sigma)}, \quad H = \int d\sigma \, (\Pi_\mu \dot{X}^\mu - \mathcal{L}). $$
Гамильтониан релятивистской струны обычно выражается через квадратичную форму импульсов и пространственных производных координат:
$$ H = \frac{1}{2} \int_0^\pi d\sigma \, \left[ \Pi_\mu \Pi^\mu + T^2 (\partial_\sigma X^\mu)(\partial_\sigma X_\mu) \right]. $$
Канонические коммутационные соотношения задаются в виде:
[Xμ(σ), Πν(σ′)] = iδνμδ(σ − σ′), [Xμ(σ), Xν(σ′)] = [Πμ(σ), Πν(σ′)] = 0.
Эти соотношения служат базой для построения квантовой теории струны и дальнейшего анализа её спектра.
Для открытой струны с границами σ = 0 и σ = π удобна модовая разложение координат:
$$ X^\mu(\tau, \sigma) = x_0^\mu + 2 \alpha' p^\mu \tau + i \sqrt{2\alpha'} \sum_{n \neq 0} \frac{1}{n} \alpha_n^\mu e^{-in\tau} \cos(n\sigma), $$
где α′ — обратная величина натяжения струны, x0μ и pμ — координата и импульс центра масс, а αnμ — модовые операторы, удовлетворяющие алгебре:
[αmμ, αnν] = mδm + n, 0ημν.
Для закрытой струны аналогичная разложение учитывает обе направления волны вдоль струны, приводя к появлению левых и правых мод: αnμ и α̃nμ.
Релятивистская струна обладает локальной симметрией конформных преобразований на мировом листе, что накладывает сильные ограничения на физические состояния. В гамильтоновом формализме это выражается через условия Вираса:
Lm|phys⟩ = 0, m > 0, (L0 − a)|phys⟩ = 0,
где Lm — операторы Вираса, построенные из модовых операторов αnμ, а a — константа нормирования, связанная с нормальным порядком. Эти условия обеспечивают устранение некорректных (негативных) состояний и сохраняют единичную норму физических состояний.
Квантование приводит к дискретной структуре энергетических уровней. Для открытой струны уровень массы определяется формулой:
$$ M^2 = \frac{1}{\alpha'} \left( N - a \right), $$
где N = ∑n > 0α−n ⋅ αn — оператор числа квантов.
Для закрытой струны формула обобщается:
$$ M^2 = \frac{2}{\alpha'} \left( N + \tilde{N} - 2a \right), \quad N = \tilde{N}, $$
что накладывает условие синхронизации левых и правых мод. Это приводит к богатой структуре спектра, включая бозонные и потенциально суперсимметричные состояния.
Взаимодействие струны реализуется через разветвления мировых листов, описываемые интегралами по пространственно-временной поверхности. Классическим аналогом является функция действия с расщеплением и слиянием:
$$ S_{\text{int}} = g \int_{\Sigma} d^2 \xi \, \sqrt{-h} \, \mathcal{O}(X(\xi)), $$
где g — константа взаимодействия, а ???? — локальный оператор взаимодействия. Квантовая теория формализуется через суммирование по всем топологиям мировых листов, что является аналогом суммирования по фейнмановским диаграммам для точечных частиц.
Релятивистская струна содержит в своём спектре естественный носитель гравитации — бозон с нулевой массой и спином 2. Этот факт показывает, что теория струн является кандидатом на квантовую теорию гравитации, избегая известных проблем с неограниченной возмущающей теорией поля в релятивистской гравитации.
Кроме того, взаимодействие струн через их мировые листы обеспечивает автоматическую единообразную структуру взаимодействий гравитона с другими полями, что делает теорию струн самодостаточной и потенциально фундаментальной.