Решения уравнений Эйнштейна: Шварцшильд, Керр, Райсснер-Нордстрем

Метрика Шварцшильда описывает статическое, сферически симметричное решение уравнений Эйнштейна в вакууме. Она задаётся следующим образом:

$$ ds^2 = -\left(1-\frac{2GM}{c^2 r}\right)c^2 dt^2 + \left(1-\frac{2GM}{c^2 r}\right)^{-1} dr^2 + r^2 (d\theta^2 + \sin^2 \theta\, d\phi^2) $$

Ключевые моменты:

  • M — масса центрального тела, G — гравитационная постоянная, c — скорость света.
  • Сферическая симметрия означает, что метрика не зависит от угловых координат θ и ϕ.
  • Особая поверхность $r_s = \frac{2GM}{c^2}$ называется горизонтом событий. Для r < rs координаты t и r меняют свои роли: r становится временной координатой.
  • Шварцшильдовское решение является фундаментальной основой для изучения черных дыр и гравитационного замедления времени.

Гравитационное замедление времени и красное смещение: Для наблюдателя на бесконечном расстоянии период колебаний света вблизи массы M увеличивается:

$$ \frac{\Delta t_\text{набл}}{\Delta t_\text{лок}} = \left(1 - \frac{2GM}{c^2 r}\right)^{-1/2} $$

Это проявление гравитационного красного смещения и замедления времени.

Метрика Керра

Метрика Керра описывает вращающиеся (аксильно-симметричные) черные дыры с массой M и угловым моментом J. В координатах Бойера–Линдквиста она записывается:

$$ ds^2 = -\left(1 - \frac{2GMr}{\rho^2 c^2}\right)c^2 dt^2 - \frac{4GMar \sin^2\theta}{\rho^2 c^3} dt d\phi + \frac{\rho^2}{\Delta} dr^2 + \rho^2 d\theta^2 + \left(r^2 + a^2 + \frac{2GMa^2 r \sin^2\theta}{\rho^2 c^2}\right)\sin^2\theta d\phi^2 $$

где

$$ \rho^2 = r^2 + a^2 \cos^2 \theta, \quad \Delta = r^2 - \frac{2GMr}{c^2} + a^2, \quad a = \frac{J}{Mc}. $$

Ключевые особенности:

  • Эргозона: область вне горизонта событий, где невозможно оставаться неподвижным относительно удаленного наблюдателя.
  • Два горизонта событий: внутренний и внешний, определяются корнями Δ = 0:

$$ r_\pm = \frac{GM}{c^2} \pm \sqrt{\left(\frac{GM}{c^2}\right)^2 - a^2} $$

  • Метрика Керра учитывает эффект инерционной принудительной тяги (frame-dragging), когда пространство-время “закручивается” вокруг вращающегося тела.

Физическое значение:

  • Применяется для описания вращающихся черных дыр и астрофизических объектов с высоким угловым моментом.
  • Важна для изучения аккреционных дисков и джетов в активных ядрах галактик.

Метрика Райсснера–Нордстрема

Метрика Райсснера–Нордстрема описывает сферически симметричное решение для заряженной, невращающейся массы:

$$ ds^2 = -\left(1-\frac{2GM}{c^2 r} + \frac{GQ^2}{4 \pi \epsilon_0 c^4 r^2}\right)c^2 dt^2 + \left(1-\frac{2GM}{c^2 r} + \frac{GQ^2}{4 \pi \epsilon_0 c^4 r^2}\right)^{-1} dr^2 + r^2 (d\theta^2 + \sin^2\theta\, d\phi^2) $$

Ключевые моменты:

  • Q — электрический заряд объекта, ϵ0 — электрическая постоянная.
  • При Q = 0 решение сводится к метрике Шварцшильда.
  • Возможность существования двух горизонтов:

$$ r_\pm = \frac{GM}{c^2} \pm \sqrt{\left(\frac{GM}{c^2}\right)^2 - \frac{GQ^2}{4 \pi \epsilon_0 c^4}} $$

  • При Q2 > 4πϵ0GM2 горизонтов нет — голая сингулярность (нарушение космической цензуры).

Физическое значение:

  • Используется для теоретического анализа черных дыр с электрическим зарядом.
  • Важна для изучения взаимодействия гравитационных и электромагнитных полей в экстремальных условиях.

Сравнение и общие свойства

Свойство Шварцшильд Керр Райсснер–Нордстрем
Масса Да Да Да
Заряд Нет Нет Да
Вращение Нет Да Нет
Симметрия Сферическая Аксиальная Сферическая
Горизонты 1 2 2 (или 0 при сверхзаряде)
Сингулярность Точечная Кольцевая Точечная
Интересные эффекты Гравитационное замедление времени Энергетический процесс в эргозоне, frame-dragging Голые сингулярности при высоком заряде

Фундаментальные аспекты:

  1. Все решения возникают из уравнений Эйнштейна в вакууме (Rμν = 0) или с источником электромагнитного поля ($R_{\mu\nu} - \frac{1}{2} g_{\mu\nu} R = \frac{8\pi G}{c^4} T_{\mu\nu}^{EM}$).
  2. Существование горизонтов событий, сингулярностей и эргозон отражает ключевые различия между типами черных дыр.
  3. Решения служат основой для исследования квантовых эффектов в гравитации, включая излучение Хокинга, аккрецию материи и релятивистские джеты.
Оглавление