Спинорные поля представляют собой фундаментальный класс объектов в квантовой теории поля, описывающих фермионы (например, электроны и нейтрино). В плоском пространстве-времени их поведение определяется уравнением Дирака:
(iγμ∂μ − m)ψ = 0,
где γμ — матрицы Дирака, ψ — спинорное поле, m — масса фермиона.
В искривленном пространстве-времени простое продвижение спиноров по прямым координатам становится невозможным из-за кривизны метрики gμν(x). Для корректного описания вводятся векторные тетрады (vielbein) eμa(x), связывающие локальные инерциальные системы с глобальными координатами кривого пространства:
gμν(x) = eμa(x)eνb(x)ηab,
где ηab — метрика Минковского, индексы a, b относятся к локальной лагранжевой системе отсчета. Тетрады позволяют переносить локальные спинорные структуры на глобальную кривую геометрию.
Основной инструмент для описания динамики спиноров в кривом пространстве — спинорная ковариантная производная:
∇μψ = ∂μψ + Ωμψ,
где Ωμ — спинорная связь, связанная с тетрадами через коэффициенты связи Леви-Чивиты Γμνλ:
$$ \Omega_\mu = \frac{1}{4} \omega_\mu^{ab} \gamma_a \gamma_b, \quad \omega_\mu^{ab} = e^a_\nu (\partial_\mu e^{b\nu} + \Gamma^\nu_{\mu\lambda} e^{b\lambda} ). $$
Эта связь обеспечивает инвариантность уравнения Дирака при локальных преобразованиях Лоренца в кривом пространстве.
С учетом спинорной ковариантной производной уравнение Дирака принимает вид:
(iγμ∇μ − m)ψ = 0,
где γμ = eaμγa. Эта форма уравнения гарантирует корректное преобразование спиноров при диффеоморфизмах пространства-времени и вводит естественную связь между геометрией кривизны и динамикой фермионных полей.
Лагранжиан для спинорного поля в кривом пространстве записывается как:
$$ \mathcal{L} = \sqrt{-g} \, \bar{\psi} (i \gamma^\mu \nabla_\mu - m) \psi, $$
где $\sqrt{-g}$ — детерминант метрики, обеспечивающий корректную меру интегрирования по объему пространства-времени. Этот лагранжиан сохраняет инвариантность действия при общих координатных преобразованиях и локальных Лоренцевых преобразованиях.
Кривизна пространства-времени напрямую влияет на динамику спиноров. Основные проявления:
Хотя в кривом пространстве глобальные трансляционные симметрии исчезают, локальные симметрии сохраняются:
$$ T_{\mu\nu} = - \frac{2}{\sqrt{-g}} \frac{\delta (\sqrt{-g} \mathcal{L})}{\delta g^{\mu\nu}}. $$
Тензор энергии-импульса спиноров содержит как классический вклад от массы и кинетики, так и вклад от спиновой структуры через связь с кривизной.
При переходе к квантовой теории:
$$ \{\hat{\psi}_\alpha(x), \hat{\psi}^\dagger_\beta(y)\} = \frac{\delta_{\alpha\beta} \delta^3(x-y)}{\sqrt{-g}}, $$
антикоммутатор учитывает метрический фактор $\sqrt{-g}$. Это гарантирует корректное определение квантового поля в произвольном кривом пространстве и позволяет вычислять вакуумные ожидания, например, ⟨0|Tμν|0⟩, для изучения квантовых эффектов гравитации, таких как эффект Хокинга вблизи горизонтов черных дыр.