Спиновая пена (spin foam) представляет собой одно из фундаментальных понятий петлевой квантовой гравитации (Loop Quantum Gravity, LQG). Она служит инструментом для описания динамики квантованной геометрии пространства-времени и обеспечивает переход от канонической петлевой квантовой гравитации к ковариантной формулировке, аналогичной интегралу по траекториям в квантовой механике.
В LQG состояние квантованной геометрии фиксированного времени описывается спиновой сетью (spin network) — графом, рёбра которого маркированы представлениями группы SU(2), а вершины — интертвинерами, задающими правила сцепления этих представлений. Спиновая пена возникает как история эволюции спиновой сети во времени, то есть граф, меняющийся между различными временными слоями, где рёбра и вершины сети образуют двумерные и трёхмерные элементы пены.
Каждое ребро спиновой пены соответствует квантованной области площади, а каждая вершина — квантованной области объёма. Переходы между различными спиновыми сетями, описываемые вершинами пены, отражают фундаментальные процессы “изменения геометрии” на квантовом уровне.
Ключевые элементы:
Таким образом, спиновая пена реализует дискретное пространство-время, где квантование геометрических величин естественным образом возникает из структуры сети.
Существует несколько подходов к построению спиновых пен, каждый из которых предлагает определённое правило для весов вершин и граней:
Модель Барретта-Крауна (Barrett–Crane Model) Эта модель основана на предложении, что квантовая 4-геометрия может быть описана с помощью ограничений, накладываемых на тензорные представления группы SL(2,ℂ). Вес вершины определяется 10j-символами, связанными с 4-симплексами. Модель обеспечивает корректную классическую границу для больших спинов, но имеет ограничения в описании динамики.
Модель Энглера-Перина (EPRL) и FK (Freidel–Krasnov) Современные модели, учитывающие связь с каноническим формализмом LQG и реализующие условия Барретта-Крауна в более гибкой форме. Они позволяют построить ковариантный переходный амплитудный оператор, соответствующий каноническому гамильтониану.
Ключевое свойство всех моделей: суммирование по спиновым конфигурациям с весами, определяемыми интертвинерами, что аналогично интегралу по траекториям в квантовой механике.
Петлевая квантовая гравитация в каноническом виде формулируется через гамильтониан, накладывающий ограничения на физические состояния. В ковариантной спиновой пене эта динамика реализуется через переходные амплитуды:
⟨sf|si⟩ = ∑спиновые пены∏граньAf∏реброAe∏вершинаAv
где Af, Ae, Av — амплитуды граней, рёбер и вершин. Эта формула задаёт вероятность перехода от начальной спиновой сети si к конечной sf.
Такой подход позволяет рассматривать петлевой квантовый гравитационный путь интеграла как дискретную сумму по геометрическим конфигурациям.
В пределе больших спинов (j ≫ 1) спиновые пены дают классическую геометрию Римана, и амплитуды вершин аппроксимируются экспонентой действия Гильберта-Плейнса:
Av ∼ eiSRegge
где SRegge — действие Реджге для дискретизированного 4-мерного пространства-времени. Этот факт демонстрирует, что спиновые пены естественно реализуют принцип классического предела и сохраняют согласованность с общей теорией относительности.
Одной из ключевых особенностей LQG и спиновой пены является инвариантность под диффеоморфизмами, что означает независимость физического содержания от выбора координат или параметризации сетки. В спиновой пене это достигается через:
Эта диффеоморфизм-инвариантная структура гарантирует, что квантовая геометрия является фундаментально фон-независимой.
Современные исследования спиновых пен сосредоточены на нескольких ключевых направлениях:
Эти направления создают мост между чистой квантовой теорией гравитации и её потенциальными наблюдаемыми последствиями в физике высоких энергий и космологии.