Тензор энергии-импульса квантованных полей

Тензор энергии-импульса T_μν является центральным объектом как в классической, так и в квантовой теории поля. В квантовой гравитации и общей теории относительности он играет роль источника гравитационного поля, связывая распределение энергии и импульса с кривизной пространства-времени через уравнения Эйнштейна.

В квантованных полях T_μν переходит в оператор, который действует на гильбертово пространство состояний поля:

$$ \hat{T}_{\mu\nu}(x) = \frac{2}{\sqrt{-g}}\frac{\delta \hat{S}}{\delta g^{\mu\nu}(x)}, $$

где Ŝ — квантованный лагранжиан поля, g^μν — метрика пространства-времени, а δ/δg^μν — функциональная производная по метрике.

Симметризация и нормировка тензора

В классической теории тензор энергии-импульса можно определить через лагранжиан ℒ поля ϕ:

$$ T_{\mu\nu} = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial^\mu \phi)} \partial_\nu \phi - g_{\mu\nu} \mathcal{L}. $$

При переходе к квантованным полям возникает ряд особенностей:

Операторы и порядок — в квантовой теории поля компоненты тензора становятся операторами, и их порядок важен. Обычно применяется нормальное упорядочение : T_μν :, чтобы исключить бесконечные вклады вакуума.
Квантовые аномалии — при квантовании нарушается классическая симметрия, и тензор может приобретать нетривиальное следовое значение (trace anomaly). Например, для конформных полей в 4D:

⟨0|T̂_μ^μ|0⟩ ≠ 0.

Симметризация Белла — для спиновых полей часто используют симметризацию Белла (Belinfante-Rosenfeld) для получения симметричного и локально сохраняемого тензора, пригодного для взаимодействия с гравитацией.

Тензор энергии-импульса для скалярного поля

Для свободного скалярного поля ϕ(x) с лагранжианом

$$ \mathcal{L} = \frac{1}{2} \partial_\mu \phi \partial^\mu \phi - \frac{1}{2} m^2 \phi^2 $$

квантованный тензор энергии-импульса имеет вид:

$$ \hat{T}_{\mu\nu} = :\partial_\mu \hat{\phi} \partial_\nu \hat{\phi} - g_{\mu\nu} \left( \frac{1}{2} \partial_\alpha \hat{\phi} \partial^\alpha \hat{\phi} - \frac{1}{2} m^2 \hat{\phi}^2 \right):. $$

Основные свойства:

Локальное сохранение: ∂^μT̂_μν = 0.
Вакуумное ожидание: ⟨0|T̂_μν|0⟩ = 0 после нормального упорядочения, но при кривизне пространства-времени появляются эффекты, как в формализме космологического вакуума.

Тензор энергии-импульса для фермионных полей

Для спин-$\frac{1}{2}$ поля ψ с лагранжианом Дирака:

ℒ = ψ̄(iγ^μ∂_μ − m)ψ

квантованный тензор энергии-импульса имеет вид:

$$ \hat{T}_{\mu\nu} = \frac{i}{4} :\bar{\psi} \gamma_{(\mu} \overleftrightarrow{\partial}_{\nu)} \psi:, $$

где $\overleftrightarrow{\partial}_{\nu} = \partial_\nu - \overleftarrow{\partial}_\nu$, а скобки (μν) означают симметризацию индексов.

Особенности:

Тензор автоматически симметричный после Белла-симметризации.
В вакуумном состоянии ⟨0|T̂_μν|0⟩ = 0 с нормальным упорядочением.
При взаимодействии с гравитацией появляются эффекты аномалии при трассировке.

Роль в гравитации

Квантованное ожидание тензора энергии-импульса:

⟨T̂_μν⟩

является источником кривизны в уравнениях Эйнштейна при квантовой гравитации в полуклассическом приближении:

G_μν = 8πG⟨T̂_μν⟩.

Ключевые аспекты:

Ренормировка — ⟨T̂_μν⟩ бесконечно в вакууме и требует регуляризации (например, точечная сепарация, адекватная субтракция, метод ζ-функции).
Касимировский эффект и вакуумные флуктуации — локальные значения ⟨T̂_μν⟩ в ограниченных геометриях отличаются от нуля и вносят вклад в гравитационное поле.
Аномалии и следовая энергия — для конформных полей ⟨T̂_μ^μ⟩ ∝ R², R_μνR^μν, где R — скаляр кривизны.

Квантовые корреляции тензора энергии-импульса

В квантовой теории поля важны не только средние значения, но и корреляции:

⟨0|T{T̂_μν(x)T̂_αβ(y)}|0⟩,

где T — временной порядок. Эти корреляции:

Определяют флуктуации вакуума, которые могут влиять на космологические возмущения.
Вносят вклад в эффекты квантовой гравитации второго порядка, как, например, при изучении шумов в пространстве-времени на малых масштабах.

Регуляризация и ренормировка

Операторы T̂_μν в квантовой теории поля изначально содержат дивергентные выражения. Для их корректного использования применяются методы:

Нормальное упорядочение: исключает вклады вакуума в плоском пространстве.
Метод точечной сепарации (point-splitting): рассматривается T̂_μν(x, y) и выполняется предельный переход y → x после выделения дивергентной части.
Метод ζ-функции: используется для вычисления детерминант операторов и получения конечных значений ⟨T̂_μν⟩ в изогнутых пространствах.

Эти методы обеспечивают физически корректное взаимодействие квантованных полей с гравитацией и позволяют вычислять эффекты типа излучения Хокинга и космологических флуктуаций.