Теория поля на искривленных многообразиях

Основные концепции

Теория поля на искривленных многообразиях представляет собой естественное обобщение стандартной квантовой теории поля (КТП) в плоском пространстве на ситуации, когда пространство-время обладает произвольной метрикой gμν(x). Основной целью является построение самосогласованной теории квантовых полей, учитывающей кривизну пространства-времени, что особенно важно для описания процессов вблизи массивных объектов, в ранней Вселенной и в условиях сильной гравитации.

Идея основывается на принципе эквивалентности: локальные законы физики должны совпадать с законами специальной теории относительности, а влияние кривизны учитывается через ковариантные производные, метрический тензор и связанные с ним геометрические структуры.

Ковариантные поля и лагранжианы

Для скалярного поля ϕ(x) на многообразии с метрикой gμν лагранжиан записывается как:

$$ \mathcal{L} = \frac{1}{2} g^{\mu\nu} \nabla_\mu \phi \nabla_\nu \phi - \frac{1}{2} m^2 \phi^2 - \frac{\xi}{2} R \phi^2, $$

где ∇μ — ковариантная производная, R — скалярная кривизна, ξ — параметр не минимального взаимодействия с кривизной. Случай ξ = 0 соответствует минимальной связи, ξ = 1/6 — конформно-инвариантному скаляру в 4 размерностях.

Для фермионного поля ψ(x) необходимо ввести локальные тетрады eμa(x), связывающие криволинейные координаты с локальными плоскими. Лагранжиан Дирака на искривленном многообразии имеет вид:

ℒDirac = iψ̄γaeaμ∇μψ − mψ̄ψ,

где γa — матрицы Дирака в локальной плоскости, а ковариантная производная включает спиновое соединение ωμab, определяемое через тетрады.

Квантование поля на криволинейном фоне

Ключевая задача — построение поля как оператора на многообразии с метрикой gμν. Поле разлагается в собственные функции уравнения Клейна–Гордона или Дирака:

ϕ(x) = ∑n(anun(x) + an†un*(x)),

где un(x) удовлетворяет

(□g + m2 + ξR)un(x) = 0,

а □g = gμν∇μ∇ν — лапласиан на многообразии.

Неоднозначность выделения частиц в криволинейном пространстве приводит к понятию вакуумов Хартла, Бака и Уаки, различающихся в зависимости от выбора координат и асимптотического поведения поля.

Вакуумные флуктуации и аномалии

Квантовые флуктуации полей создают эффект вакуумной энергии. Для скалярного поля с лагранжианом выше, тензор энергии-импульса определяется как

$$ T_{\mu\nu} = \frac{2}{\sqrt{-g}} \frac{\delta (\sqrt{-g} \mathcal{L})}{\delta g^{\mu\nu}}. $$

При квантовании возникает кривизная-анома́лия, когда классическая симметрия (например, конформная) нарушается на квантовом уровне. Для конформного скаляра в 4 размерностях след тензора энергии-импульса оказывается пропорционален кривизне:

⟨Tμμ⟩ ∼ αRμνRμν + βR2 + γ□R.

Переход к эффективным действиям

Эффективное действие Γ[gμν] играет центральную роль в описании влияния квантовых полей на гравитацию. Оно вычисляется через функциональный интеграл:

$$ e^{i \Gamma[g]} = \int \mathcal{D}\phi\, e^{i \int d^4x \sqrt{-g} \mathcal{L}[\phi,g]}, $$

что позволяет учесть вакуумные поправки к классической метрике и исследовать явления типа спонтанного возникновения гравитационных полей, эффект Хокинга или вакуумной энергии ранней Вселенной.

Эффекты на горизонтах и в космологии

Вблизи горизонтов черных дыр и в экспансивной Вселенной квантовые поля проявляют специфические эффекты:

  1. Эффект Хокинга: образование теплового излучения с температурой $T_H = \frac{\kappa}{2\pi}$, где κ — поверхностное ускорение горизонта.
  2. Космологические флуктуации: вакуумные флуктуации поля могут приводить к крупномасштабным неоднородностям плотности в ранней Вселенной.
  3. Вакуумная энергия и ускорение расширения: квантовые коррекции в криволинейной метрике могут объяснять космологическую константу в терминах полей.

Методы вычислений

Для анализа квантовых полей на искривленных многообразиях применяются:

  • Функциональные интегралы и метод эффективного действия.
  • Асимптотическая расходимость спектра лапласиана (heat kernel techniques).
  • Регуляризация и ренормализация: zeta-функции, точечная регуляризация, аддитивные и мультипликативные схемы.
  • Тетрады и спинорные формализмы для фермионных полей.
  • Метод адiabатических вакуумов для изучения процессов в нестационарных метриках.

Эти методы позволяют вычислять наблюдаемые величины, включая вакуумные флуктуации, тензор энергии-импульса и аномалии, а также строить корректные модели взаимодействия квантовых полей с гравитацией.

Оглавление