Ренормализационная группа (РГ) является фундаментальным инструментом современной квантовой теории поля, позволяющим анализировать поведение физических систем на разных масштабах. В контексте квантовой гравитации, применение РГ становится особенно важным, так как классическая теория Эйнштейна, основанная на общей теории относительности, сталкивается с неустранимыми ультрафиолетовыми (УФ) расходимостями при попытках её прямого квантования.
Ключевым понятием в РГ является эффективное действие Γk[g], зависящее от масштаба k, который ограничивает учёт флуктуаций с импульсами p > k. Эволюция эффективного действия по шкале k описывается функциональным уравнением Вильсона–Эйхенбаума–Виттена–Литимом–Фреше (Wetterich equation):
$$ \partial_t \Gamma_k[g] = \frac{1}{2} \text{Tr} \left[ \left( \Gamma_k^{(2)}[g] + R_k \right)^{-1} \partial_t R_k \right], $$
где $\partial_t = k \frac{d}{dk}$, Γk(2) — второе функциональное производное по метрике, а Rk — ИР-регулятор, подавляющий флуктуации ниже масштаба k.
Эта формализация позволяет следить за изменением гравитационных констант и космологической константы при переходе от высоких к низким энергиям, что является центральным для подхода асимптотической безопасности.
Идея асимптотической безопасности, предложенная Стивеном Вайнбергом, состоит в том, что теория может оставаться хорошо определённой на всех масштабах, если существует ультрафиолетовый неподвижный пункт (UV fixed point) РГ потока. Вблизи такого пункта физические константы приобретают определённые конечные значения, предотвращая неустранимые УФ расходимости.
Для гравитации фиксированный пункт характеризуется:
βG(G*, Λ*) = 0, βΛ(G*, Λ*) = 0,
где G — ньютоновская константа, Λ — космологическая константа, а β-функции определяют их изменение по шкале.
Исследования показывают, что даже простая тримодель Эйнштейн–Гильберта демонстрирует UV неподвижный пункт с ограниченным числом релеевских направлений, что обеспечивает предсказуемость квантовой гравитации.
Понятие критических показателей θi позволяет классифицировать направления в пространстве констант:
Число релеевских направлений определяет количество свободных параметров, которые необходимо задавать для полной спецификации теории, и играет ключевую роль в концепции асимптотической безопасности.
Для практического анализа потока РГ применяются различные приближения:
$$ S = \frac{1}{16 \pi G_k} \int d^4x \sqrt{g} ( -R + 2 \Lambda_k ), $$
что позволяет извлечь основные тенденции RG-потока и оценить UV фиксированный пункт.
f(R)-truncation — обобщение, включающее функции кривизны f(R), дающее более богатую структуру фиксированных точек и возможность исследовать нестандартные сценарии космологической эволюции.
Higher-derivative truncations — включение операторов типа R2, RμνRμν для исследования влияния квантовых коррекций на малые масштабы.
Каждое из этих приближений позволяет строить фазовые диаграммы РГ-потоков, демонстрирующие переходы между различными масштабными режимами и устойчивость фиксированных точек.
Функциональная формулировка РГ позволяет включить флуктуации метрики и фаноновые моды без необходимости полной детализации интегралов по всем конфигурациям. Основные идеи заключаются в:
Такой подход дает непосредственную связь между микро- и макроструктурой пространства-времени, создавая возможность исследовать динамику ранней Вселенной и маломасштабные квантовые эффекты.
РГ-подход к квантовой гравитации предоставляет мощный инструмент для построения предсказуемой и UV-конечнй теории. Однако существуют ограничения:
Несмотря на это, РГ обеспечивает систематический способ анализа квантовых гравитационных взаимодействий, открывая путь к построению фундаментальной теории гравитации без противоречий, связанных с расходимостями в стандартном подходе к квантованию.