Развитие теории возмущений в квантовой гравитации тесно связано с фундаментальной идеей квантования поля метрики на произвольном искривлённом многообразии. Если в квантовой теории поля на плоском пространстве Минковского возмущения строятся вокруг фиксированного вакуума, то в гравитационном случае естественным фоном выступает некоторое решение уравнений Эйнштейна, определяющее метрику многообразия. Таким образом, базовый принцип заключается в разложении полной метрики
gμν = gμν(0) + hμν,
где gμν(0) — классическое решение (фон), а hμν — квантовое возмущение, интерпретируемое как гравитонное поле.
Выбор фоновой метрики имеет ключевое значение. Для анализа космологических моделей часто берётся пространство Фридмана–Леметра–Робертсона–Уокера, для изучения черных дыр — метрика Шварцшильда или Керра, для асимптотически плоских решений — пространство Минковского. В отличие от квантовой теории поля на плоском фоне, здесь отсутствует универсальная метрика, обеспечивающая одинаковое удобство в вычислениях. Это приводит к проблеме зависимости квантовой теории от выбора фона, что является одной из центральных трудностей квантовой гравитации.
Разложение уравнений Эйнштейна по возмущению hμν приводит к линейным уравнениям на криволинейном многообразии. В первой аппроксимации можно записать:
$$ \delta R_{\mu\nu} - \tfrac{1}{2} g^{(0)}_{\mu\nu} \, \delta R - \tfrac{1}{2} R^{(0)} \, h_{\mu\nu} = 8\pi G \, T_{\mu\nu}^{(1)}, $$
где члены первого порядка в hμν определяют динамику гравитонов на фоне с кривизной. Эти уравнения содержат как кинетические термины, так и взаимодействие с фоновыми тензорами кривизны Rμνρσ(0).
Поскольку общая ковариантность сохраняется и в квантовом режиме, введение возмущений hμν требует фиксации калибровки. Чаще всего используется аналог кулоновской калибровки — гармоническая (де Дондеровская):
$$ \nabla^{\mu} \left( h_{\mu\nu} - \tfrac{1}{2} g^{(0)}_{\mu\nu} h \right) = 0. $$
Эта калибровка упрощает уравнения движения и делает возможным определение пропагатора гравитона. Однако на искривлённых многообразиях остаточные калибровочные свободы сохраняются, что приводит к необходимости использования методов Фаддеева–Попова и введения призрачных полей.
Определение пропагатора гравитона Gμνρσ(x, x′) на произвольном многообразии связано с серьёзными трудностями. В отличие от плоского пространства, где пропагатор имеет простую форму в импульсном представлении, в искривлённом случае он выражается через геодезическое расстояние между точками и битензоры (например, функции Синге–ДеВитта). Типичная структура имеет вид:
$$ G_{\mu\nu\rho\sigma}(x,x') \sim \frac{U_{\mu\nu\rho\sigma}(x,x')}{\sigma(x,x')} + V_{\mu\nu\rho\sigma}(x,x') \ln \sigma(x,x') + W_{\mu\nu\rho\sigma}(x,x'), $$
где σ(x, x′) — половина квадрата геодезического расстояния, а U, V, W — регулярные битензоры, зависящие от фоновой кривизны. Такая структура отражает как ультрафиолетовые особенности, так и инфракрасные эффекты.
Формулировка квантовой теории возмущений на искривлённом фоне осуществляется через функциональный интеграл:
Z[g(0)] = ∫????hμν eiS[g(0) + h],
где S — действие Эйнштейна–Гильберта (с добавлением членов для материи и фиксации калибровки). Разложение по степеням hμν приводит к диаграммам Фейнмана с вершинами, зависящими от фоновой метрики и тензоров кривизны. На каждом порядке возникает континуум интегралов по многообразию, которые в общем случае не сводятся к известным функциям.
Одним из центральных результатов анализа возмущений является то, что квантовая гравитация в четырёхмерном пространстве не является перенормируемой в стандартном смысле. На двухпетлевом уровне появляются расходимости, которые не удаётся устранить конечным числом перенормировок. Для контроля расходимостей применяется тепловое ядро и разложение Синге–ДеВитта:
$$ K(x,x';s) \sim \frac{1}{(4\pi s)^{d/2}} \, e^{-\sigma(x,x')/2s} \sum_{n=0}^{\infty} a_n(x,x') s^n, $$
где коэффициенты an(x, x′) содержат инварианты кривизны. Эти коэффициенты определяют дивергенции эффективного действия и структуру локальных контрчленов.
После интегрирования по возмущениям hμν получается квантовое эффективное действие:
Γ[g(0)] = S[g(0)] + ℏ Γ(1)[g(0)] + ℏ2 Γ(2)[g(0)] + …
На одномпетлевом уровне оно содержит члены, пропорциональные инвариантам вида:
$$ \int d^4x \sqrt{-g} \left( \alpha R^2 + \beta R_{\mu\nu}R^{\mu\nu} + \gamma R_{\mu\nu\rho\sigma}R^{\mu\nu\rho\sigma} \right). $$
Эти выражения указывают на то, что даже если исходная теория описывалась только действием Эйнштейна–Гильберта, на квантовом уровне в эффективное действие неизбежно входят новые геометрические члены.
Возмущения метрики на фоне космологических решений играют важную роль в теории ранней Вселенной. Квантовые флуктуации hμν порождают первичные гравитационные волны, оставляющие след в спектре космического микроволнового излучения.
В случае чёрных дыр теория возмущений используется для изучения устойчивости метрик, квантового испарения и тонкой структуры спектра Хокинга. В этих задачах критически важным оказывается поведение пропагаторов и теплового ядра на многообразиях с горизонтом событий.