В квантовой гравитации ключевую роль играет не только локальная динамика метрического поля, но и глобальная топология пространства-времени. Поскольку функциональные интегралы в теории гравитации строятся по множеству всех возможных метрик, определённых на многообразиях заданной топологии, то топологические характеристики определяют возможные классы состояний и влияют на квантовые амплитуды.
Особое значение имеют топологические инварианты, сохраняющиеся при гладких деформациях многообразия. Эти инварианты не зависят от выбора метрики и потому отражают фундаментальные свойства пространства-времени. В контексте квантовой гравитации они описывают глобальные структуры, которые невозможно устранить локальными возмущениями и которые вносят вклад в функциональные интегралы.
Одним из важнейших топологических инвариантов является эйлеровская характеристика многообразия χ(M). Для четырёхмерных римановых многообразий она вычисляется по формуле Гаусса–Бонне:
$$ \chi(M) = \frac{1}{32\pi^2} \int_M d^4x \, \sqrt{g} \, \left( R_{\mu\nu\rho\sigma}R^{\mu\nu\rho\sigma} - 4R_{\mu\nu}R^{\mu\nu} + R^2 \right). $$
Этот инвариант имеет несколько ключевых свойств:
Эйлеровская характеристика используется при вычислении индекса операторов Дирака, при формулировке аномалий и в теории характеров Черна.
Другим топологическим инвариантом является подпись многообразия τ(M), определяемая как разность числа положительных и отрицательных собственных значений билинейной формы на второй когомологии. Для четырёхмерного многообразия её можно вычислить через интеграл от плотности Понтрягина:
$$ \tau(M) = \frac{1}{24\pi^2} \int_M d^4x \, \sqrt{g} \, R_{\mu\nu\rho\sigma} \tilde{R}^{\mu\nu\rho\sigma}, $$
где R̃μνρσ — двойственный тензор кривизны. Подпись многообразия тесно связана с индексом оператора Дирака и играет роль в анализе аномалий в квантовой гравитации и суперсимметричных теориях.
Топологические инварианты часто выражаются через характеристические классы, которые строятся из кривизн связанных расслоений. Основные примеры:
Эти классы дают интегральные характеристики многообразий, такие как эйлеровская характеристика и подпись. В функциональных интегралах их присутствие ведёт к фазовым множителям, влияющим на интерференцию различных топологий.
Особое место занимают индексные теоремы, связывающие аналитические свойства дифференциальных операторов с топологическими инвариантами многообразия. В частности, теорема Атьи–Зингера утверждает:
ind(D) = ∫MÂ(R) ∧ ch(F),
где Â(R) — род Атьи–Зингера, построенный из кривизны риманова многообразия, а ch(F) — характер Черна для векторного расслоения.
Эта теорема играет фундаментальную роль в квантовой гравитации, поскольку индекс оператора Дирака определяет спектр фермионных мод и напрямую связан с аномалиями. Таким образом, квантовая непротиворечивость теории накладывает строгие ограничения на топологию пространства-времени.
При квантовании гравитации часто рассматриваются расширенные действия, включающие топологические члены, которые не влияют на классическую динамику, но существенно модифицируют квантовую теорию. Примеры таких членов:
Подобные добавки важны для описания квантовых эффектов, таких как туннелирование между различными топологиями и появление аномалий.
В квантовой гравитации топологические инварианты выполняют несколько функций:
Таким образом, изучение характеристических чисел и топологических инвариантов является неотъемлемой частью квантовой гравитации, обеспечивая глубинное понимание структуры пространства-времени на фундаментальном уровне.