Уравнение Уилера-ДеВитта

Уравнение Уилера–ДеВитта является фундаментальным уравнением в подходе канонической квантовой гравитации, связывающим геометрию пространства с квантовыми состояниями гравитационного поля. В отличие от обычной квантовой механики, где временная эволюция описывается уравнением Шредингера, в квантовой гравитации время как внешняя переменная теряет смысл, что приводит к так называемой «проблеме времени» и формализуется именно через уравнение Уилера–ДеВитта.

Формально оно записывается как:

$$ \hat{\mathcal{H}} \, \Psi[h_{ij}] = 0 $$

где:

  • $\hat{\mathcal{H}}$ — гамильтонианная операторная плотность, зависящая от трёхмерной метрики hij на пространственных срезах;
  • Ψ[hij] — функционал состояния, который описывает квантовое состояние всей трёхмерной геометрии пространства;
  • hij — трехмерная пространственная метрика, на которой определяется функционал.

Это уравнение отражает каноническое ограничение гамильтониана общей теории относительности, применяемое к квантовому состоянию вселенной. Оно показывает, что полное квантовое состояние должно быть инвариантным относительно временной эволюции, что является прямым следствием общей ковариантности теории.

Каноническое разложение и формализм АДМ

Для получения уравнения Уилера–ДеВитта используется формализм Арновитта–Дезера–Миснера (ADM), который разлагает четырёхмерное пространство-время на последовательность трёхмерных пространственных срезов с метрическим тензором hij(x) и соответствующими каноническими моментами πij(x).

Каноническая гамильтониана общей теории относительности имеет вид:

ℋADM = Nℋ + Niℋi

где N и Ni — лагранжевы множители (функции Лапса и шифта), обеспечивающие ковариантность; ℋ и ℋi — гамильтониан и моменты-для-обеспечения пространственной диффеоморфной инвариантности.

При переходе к квантовой теории канонические моменты заменяются на функциональные дифференциальные операторы:

$$ \pi^{ij}(x) \to - i \hbar \frac{\delta}{\delta h_{ij}(x)} $$

и каноническое гамильтониановое ограничение ℋ = 0 становится операторным уравнением для функционала состояния Ψ[hij], то есть уравнением Уилера–ДеВитта.

Структура уравнения в функциональном представлении

В функциональном представлении уравнение Уилера–ДеВитта принимает вид:

$$ \left[- \hbar^2 G_{ijkl} \frac{\delta^2}{\delta h_{ij} \delta h_{kl}} - \sqrt{h} \, {}^{(3)}R \right] \Psi[h_{ij}] = 0 $$

где:

  • Gijkl — суперметрика ДеВитта, которая задает внутреннюю геометрию «конфигурационного пространства» (суперпространства);
  • (3)R — трёхмерная скалярная кривизна на пространственном срезе;
  • $\sqrt{h}$ — детерминант трёхмерной метрики.

Суперметрика ДеВитта имеет вид:

$$ G_{ijkl} = \frac{1}{2\sqrt{h}}\left(h_{ik}h_{jl} + h_{il}h_{jk} - h_{ij}h_{kl}\right) $$

Она играет ключевую роль в определении «динамики» квантовой геометрии и определяет знаковую структуру кинетической части уравнения.

Проблемы и интерпретации

  1. Проблема времени Уравнение Уилера–ДеВитта не содержит явного параметра времени. В результате временная эволюция обычного квантового состояния заменяется «внутренними» или «референцными» переменными, часто выбираемыми из физических полей (например, скалярное поле или объемная мера метрики).

  2. Проблема операторного упорядочивания Поскольку канонические переменные hij и πij некоммутируют, при переходе к функциональным операторам возникает неоднозначность в порядке умножения операторов, что может приводить к различным квантовым корректировкам.

  3. Нормализация функционала состояния Поскольку Ψ[hij] определяется на бесконечномерном суперпространстве, стандартные методы нормализации, как в обычной квантовой механике, неприменимы. Часто рассматриваются лишь относительные амплитуды или проекции на определённые подпространства.

Полезные приближения и методы решения

  • Миньяковский редукционный подход: рассматриваются модели с конечным числом степеней свободы (например, космологические минисуперпространства), где метрика зависит лишь от нескольких параметров.
  • Квазиклассическое аппроксимация WKB: используется для выделения классического времени и восстановления полу-классической динамики пространства-времени.
  • Интегральные методы: функциональные интегралы по метрикам позволяют рассматривать амплитуды перехода между различными геометрическими конфигурациями, связывая канонический формализм с подходом сумм по историям.

Связь с другими подходами к квантовой гравитации

Уравнение Уилера–ДеВитта формирует основу канонического подхода, но его анализ тесно связан с:

  • Луповой квантовой гравитацией (LQG), где состояния выражаются через спиновые сети, а суперметрика заменяется дискретной структурой.
  • Квантовой космологией, где уравнение применяется к минисуперпространствам, позволяя моделировать ранние стадии Вселенной.
  • Статистической и голографической интерпретацией, где функционал состояния Ψ[hij] рассматривается как объект, описывающий энтропию или микросостояния гравитационного поля.
Оглавление