Борновское приближение является одним из ключевых методов в теории возмущений квантовой механики, широко используемым для описания взаимодействий частиц в сильных внешних полях, таких как электромагнитные поля. Этот метод был предложен, в частности, для решения задач, связанных с взаимодействием электрона с электромагнитным излучением, и стал важным инструментом в квантовой теории поля и атомной физике.
В квантовой механике Борновское приближение применяется, когда взаимодействие частиц с внешним полем достаточно слабое, чтобы пренебречь высокими порядками возмущений, но достаточно сильное, чтобы их можно было рассматривать как маленькие поправки к основной волновой функции системы. В основе метода лежит идея разложения наблюдаемых величин, таких как энергия или амплитуды переходов, в ряд по малому параметру, который характеризует взаимодействие частиц с внешним полем.
Предположение о слабости внешнего поля позволяет использовать разложение по степеням поля, где каждый порядок возмущения соответствует дополнительному добавлению более сложных взаимодействий. Это разложение даёт возможность точечно учитывать влияние внешнего поля на динамику частиц.
В Борновском приближении взаимодействие частиц с внешним полем представляется через гамильтониан, который состоит из нескольких частей:
Включая влияние внешнего поля в гамильтониан, система описывается следующим образом:
H = H0 + Hint
Порядки возмущений связаны с числом членов в разложении гамильтониана взаимодействия, и каждая дополнительная поправка соответствует более высокому порядку взаимодействия.
Одной из главных задач, для которой Борновское приближение показало свою эффективность, является описание эффекта на атомы и молекулы, вызванного взаимодействием с электромагнитным излучением. Например, при решении задачи о взаимодействии атома с электрическим полем в Борновском приближении можно выразить переходы между уровнями атома через матричные элементы гамильтониана взаимодействия, и далее вычислять поправки к энергиям уровней.
Для иллюстрации рассмотрим задачу о взаимодействии атома водорода с внешним электромагнитным полем. В этом случае гамильтониан взаимодействия может быть записан как:
Hint = −d ⋅ E(t)
где d — это дипольный момент атома, а E(t) — внешнее электрическое поле. С использованием Борновского приближения можно вычислить вероятность перехода между состояниями атома под воздействием этого поля, рассматривая соответствующие матричные элементы и применяя разложение по порядкам возмущений.
В контексте квантовой теории поля Борновское приближение используется для описания взаимодействия фермионов и бозонов в внешних электромагнитных и гравитационных полях. В этом случае гамильтониан взаимодействия более сложный и включает в себя взаимодействия между частицами и поля, которые также могут быть представлены в виде разложения по малому параметру.
Важным аспектом является использование борновских разложений для расчета поправок к корреляционным функциям и амплитудам переходов в системе с внешними воздействиями. Это позволяет получить аналитические результаты для процессов, которые в противном случае потребовали бы численных методов.
Одним из преимуществ Борновского приближения является его способность давать приближенные решения для сложных квантовых систем в условиях слабого взаимодействия с внешними полями. Этот метод позволяет значительно упростить расчет амплитуд переходов и энергий в задаче о взаимодействии с полем, давая точные результаты для первого и второго порядков возмущений.
Однако Борновское приближение имеет свои ограничения. Оно справедливо только в случае слабого взаимодействия, и в случае сильных полей приближенная схема теряет свою точность. Также метод не всегда подходит для описания сильно коррелированных систем, где взаимодействие между частицами и внешним полем более сложное.
Борновское приближение находит широкое применение не только в атомной и молекулярной физике, но и в других областях, таких как квантовая хромодинамика (QCD), где оно используется для описания слабых взаимодействий и высокоэнергетических процессов. В этой области метод применим для анализа процессов с участием сильных взаимодействий и в теориях, где слабое взаимодействие может быть принято за малую поправку.
Борновское приближение является важным и универсальным методом в квантовой механике и квантовой теории поля, предоставляя мощный инструмент для анализа взаимодействий частиц с внешними полями. Несмотря на свои ограничения, оно остается одним из основополагающих методов для изучения слабых взаимодействий в различных областях физики.