Боровская модель атома

Постулаты Боровской модели атома

Боровская модель атома, предложенная Нильсом Бором в 1913 году, стала важнейшим шагом в развитии квантовой физики. Она была создана в рамках развития планетарной модели атома Резерфорда и позволила объяснить устойчивость атома и дискретность спектральных линий. Основной объект рассмотрения — атом водорода как наиболее простой атомарный объект.

Модель основана на следующих постулатах:

  1. Стационарные орбиты: Электрон может двигаться только по определённым круговым орбитам вокруг ядра, не излучая при этом энергию. Эти орбиты называются стационарными.

  2. Квантование момента импульса: Допустимые орбиты определяются условием квантования орбитального момента:

    L = mevr = nℏ,  n = 1, 2, 3, …

    где me — масса электрона, v — его скорость, r — радиус орбиты, ℏ — приведённая постоянная Планка.

  3. Излучение и поглощение энергии: Электрон может переходить с одной стационарной орбиты на другую. При этом энергия испускается или поглощается в виде фотона:

    hν = En − Em,

    где En, Em — энергии соответствующих уровней, h — постоянная Планка, ν — частота испущенного (поглощённого) фотона.

Радиусы стационарных орбит

Из условия центростремительной силы и кулоновского взаимодействия:

$$ \frac{m_e v^2}{r} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{e^2}{r^2} $$

и квантования момента импульса mevr = nℏ, выразим радиус орбиты:

$$ r_n = \frac{4\pi\varepsilon_0 \hbar^2}{m_e e^2} n^2 = a_0 n^2, $$

где a0 ≈ 0.529 × 10−10 м — боровский радиус, фундаментальная атомная длина.

Таким образом, радиусы возможных орбит возрастают квадратично с квантовым числом n.

Энергетические уровни

Полная энергия электрона на орбите состоит из кинетической и потенциальной энергии:

$$ E_n = K + U = \frac{1}{2} m_e v^2 - \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{e^2}{r_n}. $$

Подставив выражения для v и rn, получаем:

$$ E_n = - \frac{1}{n^2} \cdot \frac{m_e e^4}{8 \varepsilon_0^2 h^2} = - \frac{13.6\, \text{эВ}}{n^2}. $$

Это выражение описывает энергетический спектр атома водорода. Он дискретен, и энергия связанного электрона всегда отрицательна. При n → ∞, En → 0, что соответствует ионизации атома.

Спектральные серии

Боровская модель прекрасно объясняет наблюдаемые спектры водорода. Переходы между энергетическими уровнями ni → nf соответствуют испусканию фотонов с частотой:

$$ \nu = \frac{E_{n_i} - E_{n_f}}{h} = R_H \left( \frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2} \right), $$

где $R_H = \frac{m_e e^4}{8 \varepsilon_0^2 h^3 c} \approx 1.097 \times 10^7 \, \text{м}^{-1}$ — постоянная Ридберга.

Это даёт формулу Бальмера и другие серии:

  • Серия Лаймана: nf = 1, ультрафиолетовая область.
  • Серия Бальмера: nf = 2, видимый свет.
  • Серия Пашена: nf = 3, инфракрасная область.
  • И далее — серии Брэкета, Пфунда и др.

Достоинства модели

  • Объясняет устойчивость атома (отсутствие «падения» электрона на ядро).
  • Даёт количественное соответствие спектру водорода.
  • Устанавливает связь между квантами света и изменением энергии атома.
  • Вводит представление о квантованных состояниях и переходах.

Ограничения и недостатки

Несмотря на успехи, модель Бора обладает фундаментальными ограничениями:

  • Применима только к однозарядным атомам (водородоподобные: He⁺, Li²⁺ и др.).
  • Не учитывает спин электрона и принципы квантовой статистики.
  • Не объясняет тонкую структуру спектральных линий.
  • Не согласуется с принципами квантовой механики (отсутствие волновой природы электрона).
  • Нарушает принципы специальной теории относительности при больших Z.

Развитие модели Бора — модель Бора-Зоммерфельда

Для устранения некоторых недостатков Боровской модели Арнольд Зоммерфельд предложил в 1916 году расширение модели на эллиптические орбиты. Он ввёл дополнительное квантовое число — орбитальное l, и постулировал квантование действия:

∮prdr = nrh,  ∮pφdφ = lh.

Это позволило объяснить тонкую структуру спектра и ввести деградацию уровней по магнитному квантовому числу m в магнитном поле (эффект Зеемана).

Однако и модель Бора-Зоммерфельда оказалась лишь приближённой: её предсказания нарушаются при рассмотрении атомов с более чем одним электроном, а также при необходимости учитывать принципы корпускулярно-волнового дуализма.

Связь с квантовой механикой

Истинная природа атомных уровней была понята лишь с появлением волновой механики Шрёдингера и матричной механики Гейзенберга. Основные результаты Бора оказались в этих теориях предельными случаями:

  • Уравнение Шрёдингера для атома водорода строго воспроизводит уровни энергии En, но при этом выводит их как собственные значения оператора Гамильтона.
  • Радиусы орбит заменяются распределениями вероятности нахождения электрона (орбитали).
  • Появляется понятие суперпозиции состояний, волновых функций, операторов и наблюдаемых.

Тем не менее, несмотря на устаревание, модель Бора продолжает играть важную методическую роль в преподавании физики. Она наглядно иллюстрирует важнейшие принципы квантования и является первым шагом на пути к более полному пониманию микромира.

Оглавление