В квантовой механике одна из базовых задач, иллюстрирующих особенности поведения микрочастиц, — это задача о частице в бесконечно глубокой потенциальной яме. Эта модель позволяет наглядно продемонстрировать основные принципы квантовой теории, такие как квантование энергии и принцип неопределенности, а также важность граничных условий для решения уравнений Шредингера.
Предположим, что частица находится в одномерной потенциальной яме, ограниченной двумя стенками, которые находятся на расстоянии L друг от друга. Потенциал V(x) для этой системы можно описать как:
$$ V(x) = \begin{cases} 0, & 0 < x < L, \\ \infty, & x \leq 0 \text{ или } x \geq L. \end{cases} $$
Это означает, что частица может свободно двигаться внутри ямы, но не может покидать её, так как потенциал за пределами ямы стремится к бесконечности. Таким образом, частицу можно рассматривать как ограниченную в определенной области пространства.
Для описания поведения частицы в потенциальной яме используется стационарное уравнение Шредингера:
$$ -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2 \psi(x)}{dx^2} = E \psi(x), $$
где ψ(x) — волновая функция, а E — энергия частицы.
Внутри потенциальной ямы (где V(x) = 0) уравнение Шредингера принимает вид:
$$ \frac{d^2 \psi(x)}{dx^2} = -\frac{2mE}{\hbar^2} \psi(x). $$
Решение этого уравнения — это линейная комбинация синусоидальных функций:
ψ(x) = Asin (kx) + Bcos (kx),
где $k = \sqrt{\frac{2mE}{\hbar^2}}$.
Для задачи о бесконечно глубокой потенциальной яме важно правильно применить граничные условия, которые вытекают из бесконечно большого потенциала за пределами ямы. В частности, волновая функция должна быть равна нулю на границах ямы, то есть:
ψ(0) = 0 и ψ(L) = 0.
Используя эти условия, получаем:
ψ(x) = Asin (kx),
где A — константа, которая нормирует волновую функцию.
Чтобы выполнить граничное условие ψ(L) = 0, необходимо, чтобы kL = nπ, где n — целое положительное число. Таким образом, волновое число k дискретно:
$$ k_n = \frac{n\pi}{L}. $$
Энергия частицы в яме определяется через волновое число kn как:
$$ E_n = \frac{\hbar^2 k_n^2}{2m} = \frac{n^2 \pi^2 \hbar^2}{2mL^2}. $$
Таким образом, энергия частицы в бесконечно глубокой потенциальной яме дискретна и зависит от квантового числа n. Чем больше n, тем выше энергия. Этот эффект квантования энергии является важным отличием от классической механики, где энергия может принимать любые значения.
Для каждой энергии En соответствующая волновая функция имеет вид:
$$ \psi_n(x) = \sqrt{\frac{2}{L}} \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right), $$
где коэффициент нормировки $\sqrt{\frac{2}{L}}$ обеспечивает, что интеграл по всем возможным положениям частицы будет равен единице:
∫0L|ψn(x)|2dx = 1.
Эти функции ψn(x) представляют собой стоячие волны, что означает, что амплитуда волновой функции остаётся постоянной во времени, а частица не «покидает» свою область.
Принцип неопределенности Гейзенберга в контексте задачи о частице в яме может быть использован для понимания того, почему частица не может «выходить» за пределы ямы. В квантовой механике точное знание положения частицы приводит к неопределенности в её импульсе. Если бы частица находилась в какой-то определенной точке внутри ямы, её импульс был бы неопределённым, и это нарушало бы условия, описывающие движение частицы.
В классической механике частица, находящаяся в яме, может двигаться с любой энергией, в пределах данной области. Она может занимать любое положение внутри ямы и иметь любую скорость, пока её энергия остаётся постоянной. В отличие от этого, в квантовой механике энергия частицы квантована, и её волновая функция имеет дискретные уровни.
Модель частицы в бесконечно глубокой потенциальной яме является одной из самых простых, но важнейших в квантовой механике. Она наглядно демонстрирует, как квантование энергии и поведение волновых функций влияют на микроскопическое поведение частиц. Этот пример является основой для понимания более сложных квантовых систем и служит важным введением в квантовую теорию.