Частица в конечной потенциальной яме — это классическая задача квантовой механики, которая позволяет понять основные принципы взаимодействия частиц с потенциальными барьерами и формирование спектра энергии квантовой системы. Рассмотрим задачу на примере одномерной потенциальной ямы с конечными стенками, где частица может быть ограничена внутри области с определённой длиной.
Предположим, что частица находится в области пространства, ограниченной двумя стенками, расположенными на расстоянии x = 0 и x = L, где L — это длина потенциальной ямы. Потенциал внутри ямы можно считать равным нулю, то есть V(x) = 0 для 0 ≤ x ≤ L. За пределами ямы, то есть при x < 0 и x > L, потенциал бесконечен, т.е. V(x) = ∞. Таким образом, частица не может покинуть пределы ямы, и её движение ограничено в интервале [0, L].
В рамках квантовой механики поведение частиц описывается уравнением Шредингера. Для одномерной задачи с потенциалом, который зависит только от координаты x, стационарное уравнение Шредингера имеет вид:
$$ -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2 \psi(x)}{dx^2} + V(x) \psi(x) = E \psi(x) $$
где ψ(x) — волновая функция, ℏ — редуцированная постоянная Планка, m — масса частицы, E — энергия системы, и V(x) — потенциал.
Для области внутри ямы, где V(x) = 0, уравнение Шредингера упрощается до:
$$ -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2 \psi(x)}{dx^2} = E \psi(x) $$
Решение этого дифференциального уравнения имеет вид:
ψ(x) = Asin (kx) + Bcos (kx)
где k — волновое число, связанное с энергией E через соотношение:
$$ k = \sqrt{\frac{2mE}{\hbar^2}} $$
Для решения задачи необходимо наложить граничные условия. Внутри ямы, при x = 0 и x = L, потенциал бесконечен, что означает, что волновая функция должна быть равна нулю в этих точках. Это даёт следующие граничные условия:
ψ(0) = 0 и ψ(L) = 0
Используя граничные условия, получаем, что коэффициент B в решении волновой функции должен быть равен нулю, так как cos (kx) не удовлетворяет условию ψ(0) = 0. Таким образом, волновая функция принимает вид:
ψ(x) = Asin (kx)
Для того чтобы волновая функция удовлетворяла граничному условию ψ(L) = 0, необходимо, чтобы k удовлетворяло условию:
sin (kL) = 0
Это возможно при значениях $k = \frac{n\pi}{L}$, где n — целое положительное число. Таким образом, энергии системы могут быть выражены как:
$$ E_n = \frac{\hbar^2 k^2}{2m} = \frac{n^2 \pi^2 \hbar^2}{2mL^2} $$
где n = 1, 2, 3, … — квантовое число, определяющее уровень энергии.
Соответствующие волновые функции для каждого уровня энергии будут иметь вид:
$$ \psi_n(x) = A_n \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right) $$
где An — нормировочный коэффициент, который определяется условием нормировки:
∫0L|ψn(x)|2dx = 1
После интегрирования, получаем:
$$ A_n = \sqrt{\frac{2}{L}} $$
Таким образом, нормированные волновые функции имеют вид:
$$ \psi_n(x) = \sqrt{\frac{2}{L}} \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right) $$
Энергетические уровни частиц, находящихся в конечной потенциальной яме, являются дискретными. Энергия для каждого уровня n выражается через квантовое число n следующим образом:
$$ E_n = \frac{n^2 \pi^2 \hbar^2}{2mL^2} $$
Эти уровни образуют квантованный спектр энергии, где энергия для каждого уровня увеличивается с ростом n. Для n = 1 энергия минимальна, для n = 2 — в два раза больше и так далее.
Плотность состояний — это величина, характеризующая число состояний с энергией в заданном интервале. Для одномерной потенциальной ямы плотность состояний ρ(E) может быть вычислена как:
$$ \rho(E) = \frac{dn}{dE} $$
Преобразуя выражение для энергии, получаем:
$$ \rho(E) = \frac{L}{\pi \hbar} \sqrt{\frac{2m}{E}} $$
Таким образом, плотность состояний уменьшается с увеличением энергии.
Частица в конечной потенциальной яме может находиться в основном состоянии, когда n = 1, или в возбуждённых состояниях с n = 2, 3, 4, …. При этом энергия системы возрастает с увеличением квантового числа n, а волновая функция меняет форму, переходя от однообразного синусоида в более сложные узорчатые функции.
Для термодинамического описания системы можно рассмотреть статистику распределения частиц по энергетическим уровням. В классической статистике для потенциальной ямы с дискретными уровнями энергии можно вычислить статистическое распределение на основе формулы Больцмана для энергии:
$$ f(E) = \frac{1}{e^{E/k_B T} - 1} $$
где kB — постоянная Больцмана, T — температура системы.
Задача частицы в конечной потенциальной яме является важным и классическим примером в квантовой механике. Она показывает, как дискретность энергии возникает из квантования пространства и граничных условий, а также иллюстрирует основные принципы квантовой механики, такие как стоячие волны и принцип неопределённости.