Формулировка квантовой механики, предложенная Ричардом Фейнманом, представляет собой одну из важнейших концептуальных и математических основ современной теории. Это подход, который объясняет явления в рамках квантовой теории, основанный на использовании интегралов по траекториям. Этот способ значительно отличается от традиционного подхода, использующего волновые функции и операторы. Фейнман предложил, что можно описывать квантовые процессы через сумму всех возможных траекторий, по которым может двигаться система.
В классической механике путь частиц определяется законами Ньютона, и существует лишь одна траектория, которую частица может следовать. В квантовой механике ситуация радикально меняется. Вместо одной траектории, Фейнман предложил, что частица на самом деле может двигаться по множеству путей, и каждый путь обладает некоторым вкладом в вероятность события. Каждому пути приписывается амплитуда вероятности, которая вычисляется как экспоненциальная функция действия (которое определяется как интеграл Лагранжиана по времени). Суммируя амплитуды всех возможных траекторий, мы получаем полное описание квантового процесса.
Формально эта идея выражается через интеграл по траекториям:
$$ K(b, a) = \int \mathcal{D}x(t) \, e^{\frac{i}{\hbar}S[x(t)]} $$
где:
В квантовой механике действие S является центральной величиной. Оно определяется как интеграл Лагранжиана по времени и играет ключевую роль в вычислении амплитуды вероятности для конкретной траектории. Для малых изменений времени действие изменяется незначительно, но для траекторий с большими отклонениями от прямой линии действие становится значительно большим, что уменьшает вклад этих траекторий в общую амплитуду.
Важно понимать, что эта формулировка не заменяет традиционную волну Шрёдингера, а представляет собой другой способ взгляда на теорию. Вместо работы с дифференциальными уравнениями для волновой функции, мы работаем с интегралом по всем траекториям, что позволяет глубже понять природу квантовых процессов и их статистическое поведение.
Для упрощения вычислений в формулировке Фейнмана рассматриваются траектории как дискретные, разделенные на малые временные интервалы. Каждая такая траектория описывается последовательностью состояний в каждом из этих интервалов. Интеграл по траекториям можно представить как произведение интегралов по всем возможным путям на каждом из промежуточных интервалов.
Процесс интегрирования по траекториям приводит к численному результату, который в случае предельных значений интервалов времени сводится к стандартному описанию квантовой механики через дифференциальные уравнения Шрёдингера.
Один из значимых аспектов формулировки Фейнмана — это ее способность объяснять взаимосвязь между различными квантовыми состояниями через амплитуды вероятности. В отличие от классической механики, где существует четкая детерминированность пути, в квантовой механике мы говорим о вероятностных переходах, и каждое событие в рамках квантового процесса имеет вероятность, зависящую от суммы всех возможных траекторий.
Если рассматривать два процесса, например, два возможных пути частицы из точки a в точку b, их амплитуды вероятности складываются. Это приводит к интерференционным эффектам, которые наблюдаются, например, в опытных установках типа эксперимента с двумя щелями. Интеграл Фейнмана дает нам метод для вычисления этих интерференционных эффектов через амплитуды всех путей.
Формулировка Фейнмана интегралом по траекториям тесно связана с другими известными формулировками квантовой механики, такими как волновая механика Шрёдингера и матричная механика Гейзенберга. Она не заменяет эти подходы, но является их альтернативой, которая позволяет увидеть другие аспекты квантовых процессов.
Волновая механика Шрёдингера: Волновая функция в этом подходе эволюционирует во времени, описывая вероятностное распределение состояния системы. В интеграле Фейнмана волновая функция также появляется, но как результат суммирования по всем траекториям, что даёт более полное представление о процессе.
Матричная механика Гейзенберга: Это подход, в котором физическая система представляется через операторы, а динамика системы — через изменение этих операторов во времени. Интеграл по траекториям Фейнмана может быть рассмотрен как эквивалент матричной механики в терминах вычислений, при этом описания происходящих процессов обладают более прямым визуальным и математическим пониманием.
Интеграл по траекториям Фейнмана находит множество применений в различных областях физики. Например, он активно используется в квантовой теории поля для описания взаимодействий частиц. В контексте квантовой электродинамики (КЭД) этот подход используется для вычисления амплитуд взаимодействий частиц, таких как электроны и фотоны, через интегралы по всем возможным путям.
Формулировка Фейнмана также важна для понимания квантовых флуктуаций, которые имеют место в вакууме, и для объяснения явлений, таких как виртуальные частицы, которые появляются и исчезают на коротких временных промежутках, не подчиняясь строгим классическим законам.
Формулировка квантовой механики Фейнмана посредством интегралов по траекториям представляет собой мощный инструмент для описания и анализа квантовых процессов. Этот подход открывает новые возможности для изучения явлений в квантовой теории и может быть применен для вычисления амплитуд вероятности взаимодействий в различных областях физики.