Гармонический осциллятор представляет собой классическую механическую систему, в которой тело подвержено восстановительным силам, пропорциональным отклонению от положения равновесия. В квантовой механике система гармонического осциллятора имеет важное значение, поскольку служит базовой моделью для множества физических процессов, включая колебания молекул, атомов, флуктуации в квантовых полях и другие явления.
Потенциальная энергия V(x) в системе гармонического осциллятора выражается через квадрат отклонения от положения равновесия x как:
$$ V(x) = \frac{1}{2}m\omega^2 x^2 $$
где:
Это выражение для потенциальной энергии является квадратичной функцией от отклонения x, что характерно для осцилляторов. В классической механике такая форма потенциальной энергии приводит к гармоническим колебаниям.
В квантовой механике гармонический осциллятор описывается уравнением Шредингера. Для одной частицы с массой m, движущейся в потенциале $V(x) = \frac{1}{2}m\omega^2 x^2$, стационарное уравнение Шредингера выглядит следующим образом:
Ĥψ(x) = Eψ(x)
где Ĥ — гамильтониан системы, представляющий собой сумму кинетической и потенциальной энергии:
$$ \hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2}{dx^2} + \frac{1}{2} m \omega^2 x^2 $$
Здесь ℏ — редуцированная постоянная Планка, $\frac{d^2}{dx^2}$ — оператор второй производной по координате, а E — энергия частицы.
Решение уравнения Шредингера для гармонического осциллятора даёт волновые функции ψn(x) и соответствующие им энергии. Для данной системы спектр энергии квантован, и выражение для энергии частиц имеет вид:
$$ E_n = \left(n + \frac{1}{2}\right) \hbar \omega $$
где n = 0, 1, 2, … — квантовое число, определяющее уровни энергии. Это дискретизация спектра энергии характерна для квантовых систем. Минимальная энергия для гармонического осциллятора, соответствующая состоянию n = 0, называется энергией нулевого состояния и равна:
$$ E_0 = \frac{1}{2} \hbar \omega $$
Таким образом, в квантовой механике не существует состояния с нулевой энергией, что является следствием принципа неопределенности, поскольку даже в самом низшем энергетическом состоянии частица не может оставаться полностью неподвижной.
Волновые функции ψn(x) для гармонического осциллятора можно выразить в виде:
$$ \psi_n(x) = N_n \, H_n\left(\sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}}x\right) \exp\left(-\frac{m\omega x^2}{2\hbar}\right) $$
где:
Эти функции описывают вероятностное распределение нахождения частицы в различных точках пространства. Каждое состояние n характеризуется определенной формой функции, с возрастающим числом узлов при увеличении n.
Операторы положения x̂ и импульса p̂ для гармонического осциллятора имеют важное значение в квантовой механике. Они удовлетворяют коммутационным соотношениям:
[x̂, p̂] = iℏ
В терминах этих операторов гамильтониан системы можно переписать как:
$$ \hat{H} = \frac{\hat{p}^2}{2m} + \frac{1}{2}m\omega^2 \hat{x}^2 $$
В квантовой механике эти операторы действуют на волновую функцию. Оператор положения x̂ умножает функцию на координату, в то время как оператор импульса p̂ связан с дифференцированием по координате:
$$ \hat{p} = -i \hbar \frac{d}{dx} $$
Гармонический осциллятор в квантовой механике имеет строго квантованные энергетические уровни. Переходы между уровнями энергии могут происходить при взаимодействии с внешними полями (например, электромагнитными волн). Вероятность перехода определяется матричными элементами оператора взаимодействия, и такие переходы могут сопровождаться испусканием или поглощением фотонов.
Для перехода между уровнями n и m энергия, которую поглощает или испускает система, равна разности энергий этих уровней:
ΔE = Em − En = (m − n)ℏω
Эти переходы играют ключевую роль в спектроскопии и других областях физики.
Гармонический осциллятор является основой для более сложных моделей в квантовой механике. Он используется для описания колебаний атомов в молекулах, флуктуаций в квантовых полях, а также в моделях тепловых процессов в статистической механике. Кроме того, он лежит в основе многих современных теорий, включая теорию поля и квантовую теорию поля.
Система гармонического осциллятора в квантовой механике иллюстрирует важнейшие особенности квантования энергии, принципа неопределенности и квантовой теории поля. Это одна из базовых моделей, в которой можно понять основные принципы квантовой механики, такие как дискретизация энергии, характер волновых функций и роль операторов в вычислении физических величин.
Гармонический осциллятор также служит примером для исследования взаимодействия квантовых систем с внешними полями, что актуально для множества применений, включая квантовые вычисления и нанотехнологии.