Гильбертово пространство
Гильбертово пространство — это полное линейное пространство с определённым внутренним (скалярным) произведением, индуцирующим норму. Это фундаментальное математическое построение лежит в основе формализма квантовой механики, где состояния квантовых систем описываются вектором в гильбертовом пространстве, а наблюдаемые соответствуют самосопряжённым операторам.
Пусть ℋ — комплексное линейное пространство. В нём вводится операция внутреннего произведения:
⟨ψ|ϕ⟩ : ℋ × ℋ → ℂ
удовлетворяющая следующим аксиомам:
Полуторалинейность (антилинейность по первому аргументу, линейность по второму):
⟨aψ1 + bψ2|ϕ⟩ = a*⟨ψ1|ϕ⟩ + b*⟨ψ2|ϕ⟩
Положительная определённость:
⟨ψ|ψ⟩ ≥ 0, и ⟨ψ|ψ⟩ = 0 ⇔ ψ = 0
Симметрия с комплексным сопряжением:
⟨ψ|ϕ⟩ = ⟨ϕ|ψ⟩*
Полнота по норме $\| \psi \| = \sqrt{\langle \psi | \psi \rangle}$: всякая фундаментальная последовательность сходится в смысле этой нормы.
Гильбертово пространство может быть конечномерным или бесконечномерным. В квантовой механике, как правило, используются сепарабельные пространства — то есть содержащие счётный ортонормированный базис {|en⟩}n = 1∞, такой что любой элемент |ψ⟩ ∈ ℋ можно разложить в виде:
$$ |\psi\rangle = \sum_{n=1}^{\infty} c_n |e_n\rangle, \quad c_n = \langle e_n | \psi \rangle, \quad \sum_{n=1}^\infty |c_n|^2 < \infty $$
Пример: пространство L2(ℝ), состоящее из квадратно интегрируемых функций ψ(x), то есть таких, что:
∫−∞∞|ψ(x)|2dx < ∞
это классический пример сепарабельного гильбертова пространства, широко используемый при описании волновых функций частиц.
Операторы в гильбертовом пространстве — отображения Â : ℋ → ℋ, действующие линейно:
Â(a|ψ⟩ + b|ϕ⟩) = aÂ|ψ⟩ + bÂ|ϕ⟩
Важнейшим классом являются ограниченные линейные операторы, для которых существует постоянная M > 0, такая что:
∥Â|ψ⟩∥ ≤ M∥|ψ⟩∥ ∀|ψ⟩ ∈ ℋ
В квантовой механике основной интерес представляют самосопряжённые (эрмитовы) операторы, удовлетворяющие:
⟨ψ|Âϕ⟩ = ⟨Âψ|ϕ⟩
для всех ψ, ϕ ∈ ????(Â), где ????(Â) — область определения оператора. Такие операторы соответствуют физически измеримым величинам (наблюдаемым).
Если существует ненулевой вектор |ϕ⟩ ∈ ℋ, удовлетворяющий:
Â|ϕ⟩ = λ|ϕ⟩
то λ называется собственным значением, а |ϕ⟩ — собственным вектором оператора Â. Спектр оператора σ(Â) включает все значения λ, для которых (Â − λI) не имеет ограниченного обратного. В бесконечномерных пространствах спектр может быть не только точечным, но и непрерывным.
Ортогональная проекция — это линейный оператор P̂, удовлетворяющий:
P̂2 = P̂, P̂† = P̂
Такие операторы играют ключевую роль в квантовой теории измерений: проекция состояния на подпространство, соответствующее измеряемому значению наблюдаемой, реализуется с помощью таких операторов.
Любое гильбертово пространство можно разложить в прямую сумму ортогональных подпространств:
ℋ = ⨁iℋi
Каждое подпространство может быть связано с различными результатами измерений или подпространствами энергии.
Одной из краеугольных теорем, обеспечивающих мощную связь между элементами ℋ и линейными функционалами, является теорема Риса — Фишера. Она утверждает: всякий непрерывный линейный функционал f на ℋ может быть представлен в виде скалярного произведения:
f(ϕ) = ⟨ψ|ϕ⟩
для некоторого единственного |ψ⟩ ∈ ℋ. Это позволяет отождествить пространство сопряжённых линейных функционалов ℋ* с самим гильбертовым пространством, что лежит в основе бра-кет нотации Дирака.
ℂn — конечномерное гильбертово пространство: описывает квантовые системы с конечным числом уровней (например, спины, кубиты).
L2(ℝ) — пространство квадратно-интегрируемых функций: волновые функции частиц в координатном или импульсном представлении.
Фоковское пространство — гильбертово пространство, построенное для описания квантованных полей, включает в себя векторы с переменным числом частиц.
Сходимость в гильбертовом пространстве понимается как сходимость по норме. Последовательность {|ψn⟩} ⊂ ℋ сходится к |ψ⟩ ∈ ℋ, если:
∥|ψn⟩−|ψ⟩∥ → 0 при n → ∞
Это важно при анализе предельных переходов, таких как эволюция состояний во времени или приближённые решения задач собственных значений.
Вектор |ψ⟩ ∈ ℋ соответствует линейному функционалу ⟨ψ| в сопряжённом пространстве ℋ*, определяющему отображение:
|ϕ⟩ ↦ ⟨ψ|ϕ⟩
Этот переход лежит в основе формализма бра-кет, позволяющего элегантно записывать выражения для скалярных произведений, операторов, матричных элементов и вероятностей.
Унитарный оператор Û удовлетворяет:
Û†Û = ÛÛ† = I
Он сохраняет норму и скалярные произведения и описывает эволюцию квантовых состояний во времени (в рамках уравнения Шрёдингера).
Самосопряжённые операторы обладают вещественными спектрами и ортогональными собственными векторами, что делает их физически интерпретируемыми как измеримые наблюдаемые. Спектральная теорема утверждает, что самосопряжённый оператор можно представить как интеграл по спектру с проекционными мерами.
В ряде задач физического смысла требуют включения так называемых обобщённых собственных функций, например дельта-функций δ(x − x0), которые не принадлежат L2(ℝ), но играют важную роль в спектральном разложении и представлении непрерывного спектра. Это требует расширения формализма до ригged Hilbert spaces (гильбертовых пространств с вложением Гельфанда).
При описании составных квантовых систем используется тензорное произведение гильбертовых пространств:
ℋ = ℋ1 ⊗ ℋ2
Элементы пространства ℋ — это линейные комбинации тензорных произведений |ψ⟩⊗|ϕ⟩. Концепция запутанных состояний, лежащая в основе квантовой информации, невозможна без использования такого построения.
Гильбертово пространство является центральной структурой квантовой механики: оно служит ареной, на которой разворачиваются все физические процессы, и обеспечивает строгую математическую основу для описания квантовых состояний, измерений, симметрий и эволюции.