Спектральное распределение энергии в излучении абсолютно черного тела
Абсолютно чёрное тело — это идеализированный физический объект, который полностью поглощает всё падающее на него электромагнитное излучение, не отражая и не пропуская его. При этом такое тело является и идеальным излучателем: его собственное излучение зависит исключительно от температуры и подчиняется универсальным законам.
Согласно закону Кирхгофа (1859), отношение излучательной способности тела к его поглощательной способности есть универсальная функция, зависящая только от частоты и температуры, и достигает максимального значения у абсолютно черного тела. Это позволяет выделить такое тело в качестве эталона теплового излучения и исследовать фундаментальные свойства спектров излучения.
Пусть R(ν, T) — энергетическая спектральная плотность излучения, испускаемого телом при температуре T на частоте ν, а A(ν, T) — коэффициент поглощения. Тогда по Кирхгофу:
$$ \frac{R(\nu, T)}{A(\nu, T)} = B(\nu, T), $$
где B(ν, T) — универсальная функция, определяющая спектр абсолютно черного тела.
В интегральной форме излучательная способность абсолютно черного тела определяется законом Стефана–Больцмана:
P = σT4,
где σ ≈ 5, 67 ⋅ 10−8 Вт/(м2 ⋅ К4) — постоянная Стефана–Больцмана. Этот закон отражает тот факт, что общее количество энергии, испускаемой единицей площади поверхности абсолютно чёрного тела, растёт пропорционально четвёртой степени его абсолютной температуры.
Смещение максимума спектральной плотности излучения по частоте или длине волны с изменением температуры описывается законом Вина:
λmaxT = b,
где λmax — длина волны, на которой наблюдается максимум спектра, b ≈ 2, 898 ⋅ 10−3 м ⋅ К — постоянная Вина.
Этот закон говорит о том, что с ростом температуры максимум спектра смещается в сторону коротковолнового (высокочастотного) диапазона.
Классическая теория (на основе электродинамики и статистической физики) приводит к выражению Рэлея–Джинса для спектральной плотности энергии:
$$ u(\nu, T) = \frac{8 \pi \nu^2}{c^3} k_B T. $$
Здесь kB — постоянная Больцмана, c — скорость света. Это выражение корректно описывает поведение спектра при малых частотах, однако при больших частотах u(ν, T) → ∞, что приводит к так называемой ультрафиолетовой катастрофе — расхождению полной энергии. Это противоречие между теорией и экспериментом потребовало принципиального пересмотра представлений о природе излучения.
До появления квантовой теории Вин предложил эмпирическую формулу, которая корректно описывала поведение спектра в области высоких частот:
$$ u(\nu, T) = \frac{8 \pi h \nu^3}{c^3} \exp\left( -\frac{h \nu}{k_B T} \right), $$
где h — постоянная Планка. Однако в области низких частот эта формула не совпадала с экспериментом.
Макс Планк в 1900 году предложил формулу, которая описывает спектр абсолютно чёрного тела во всем диапазоне частот, предполагая, что энергия электромагнитного поля квантуется, то есть может принимать только дискретные значения, кратные hν. Он вывел выражение:
$$ u(\nu, T) = \frac{8 \pi h \nu^3}{c^3} \cdot \frac{1}{\exp\left( \frac{h \nu}{k_B T} \right) - 1}. $$
Это выражение прекрасно согласуется с экспериментальными данными и является краеугольным камнем квантовой теории.
Для спектральной плотности по длине волны формула Планка принимает вид:
$$ u(\lambda, T) = \frac{8 \pi h c}{\lambda^5} \cdot \frac{1}{\exp\left( \frac{h c}{\lambda k_B T} \right) - 1}. $$
Планк предположил, что осцилляторы, излучающие и поглощающие энергию в стенках абсолютно черного тела, могут обладать только дискретными уровнями энергии:
En = nhν, n = 0, 1, 2, …
Из этого постулата следует, что вероятность нахождения осциллятора на уровне энергии En определяется распределением Больцмана:
$$ P_n \propto \exp\left( -\frac{E_n}{k_B T} \right) = \exp\left( -\frac{n h \nu}{k_B T} \right). $$
Планк рассчитал среднюю энергию одного осциллятора:
$$ \langle E \rangle = \frac{\sum_{n=0}^\infty n h \nu \cdot e^{-n h \nu / k_B T}}{\sum_{n=0}^\infty e^{-n h \nu / k_B T}} = \frac{h \nu}{\exp(h \nu / k_B T) - 1}, $$
и получил формулу спектральной плотности, домножая эту величину на число мод:
$$ u(\nu, T) = \rho(\nu) \cdot \langle E \rangle, \quad \text{где } \rho(\nu) = \frac{8 \pi \nu^2}{c^3}. $$
Формула Планка не только объяснила спектр излучения абсолютно черного тела, но и стала первым свидетельством несостоятельности классической физики при описании микроскопических явлений. Именно с этого начинается развитие квантовой механики.
Она также позволяет определить фундаментальные константы и проверить согласованность различных физических теорий. Из закона Планка могут быть получены законы Вина и Рэлея–Джинса как предельные случаи при hν ≫ kBT и hν ≪ kBT соответственно.
Таким образом, изучение излучения абсолютно черного тела представляет собой не только исторически важный этап, но и методологически ценный пример перехода от классических к квантовым представлениям в физике.