Комплексные числа и их применение в квантовой механике
Комплексное число определяется как выражение вида
z = x + iy,
где x, y ∈ ℝ, а i — мнимая единица, удовлетворяющая условию i2 = −1. Число x называется действительной частью (Re(z)), а y — мнимой частью (Im(z)) комплексного числа. Комплексные числа удобно представлять в комплексной плоскости — плоскости Аргана, где ось абсцисс соответствует действительной части, а ось ординат — мнимой.
Модуль комплексного числа
$$ |z| = \sqrt{x^2 + y^2} $$
характеризует его расстояние от начала координат, а аргумент arg (z) — угол между радиус-вектором числа и действительной осью.
Алгебра комплексных чисел:
(x1 + iy1)(x2 + iy2) = (x1x2 − y1y2) + i(x1y2 + x2y1)
$$ \frac{z_1}{z_2} = \frac{x_1 + iy_1}{x_2 + iy_2} = \frac{(x_1 + iy_1)(x_2 - iy_2)}{x_2^2 + y_2^2} $$
Комплексное сопряжение:
z̄ = x − iy,
удобно при вычислении модулей и работе с вероятностными амплитудами.
Особое значение имеет представление комплексного числа в экспоненциальной форме:
z = reiφ,
где r = |z| — модуль, φ = arg (z) — аргумент. Это представление основано на формуле Эйлера:
eiφ = cos φ + isin φ.
Переход между алгебраической и экспоненциальной формами играет ключевую роль в описании волновых функций и операторов эволюции в квантовой механике.
Волновая функция ψ(x, t) — основная сущность в квантовой механике — всегда комплекснозначна. Ее физический смысл заключается в том, что квадрат модуля |ψ(x, t)|2 определяет вероятность нахождения частицы в точке x в момент времени t. Таким образом, волновая функция не может быть чисто вещественной в общем случае.
Пример свободной волны:
ψ(x, t) = Aei(kx − ωt).
Это выражение не имеет прямого классического аналога, но его модуль |ψ(x, t)|2 = |A|2 постоянен, что соответствует равномерному распределению вероятности по координате.
Комплексность волновых функций необходима для описания интерференционных и туннельных эффектов, фазовых сдвигов, а также эволюции во времени, т.к. уравнение Шрёдингера является линейным дифференциальным уравнением с мнимой единицей:
$$ i\hbar \frac{\partial}{\partial t} \psi(x,t) = \hat{H} \psi(x,t). $$
В квантовой механике состояние системы описывается элементом комплексного гильбертова пространства ℋ. Для двух волновых функций ψ и ϕ их скалярное произведение определяется как:
⟨ϕ|ψ⟩ = ∫ϕ̄(x)ψ(x) dx.
Это выражение обязательно включает комплексное сопряжение, обеспечивая положительную определённость нормы:
∥ψ∥2 = ⟨ψ|ψ⟩ = ∫|ψ(x)|2dx ≥ 0.
Комплексная структура необходима для корректной интерпретации состояний, наложения и ортогональности.
Любое квантовое состояние |ψ⟩ можно разложить по ортонормированному базису {|n⟩} с комплексными коэффициентами:
|ψ⟩ = ∑ncn|n⟩, cn = ⟨n|ψ⟩.
Коэффициенты cn — это амплитуды вероятностей, которые в общем случае — комплексные числа. Их модули в квадрате дают вероятности наблюдения соответствующего состояния:
Pn = |cn|2.
Наличие фазы у cn не влияет на вероятность, но существенно влияет на интерференционные явления, где важна относительная фаза между компонентами.
Операторы эволюции, возникающие в квантовой теории, имеют вид:
Û(t) = e−iĤt/ℏ,
где Ĥ — эрмитов оператор Гамильтона. Такой оператор является унитарным, т.е. удовлетворяет условию:
Û†Û = Î.
Унитарность сохраняет норму состояний и обеспечивает обратимость квантовой эволюции. Именно наличие мнимой единицы в экспоненте позволяет гарантировать унитарность при условии эрмитовости Ĥ. В классической механике аналогичного механизма нет.
Квантовая механика использует амплитуды вероятностей, а не сами вероятности. Если имеется два альтернативных пути A и B, то соответствующая амплитуда:
ψ = ψA + ψB,
а вероятность:
P = |ψ|2 = |ψA + ψB|2 = |ψA|2 + |ψB|2 + 2Re(ψA*ψB).
Последний член — интерференционный вклад, который существует только благодаря комплексной природе амплитуд. Это проявляется в опытах с двумя щелями, когерентным рассеянием, суперпозицией состояний и др.
Операторы наблюдаемых величин в квантовой теории (например, координата, импульс, энергия) реализуются в виде эрмитовых операторов  = †. Их спектр — только действительные числа. Это следует из условия:
⟨ψ|Â|ψ⟩ ∈ ℝ ∀ |ψ⟩.
Однако важное отличие состоит в том, что собственные функции таких операторов — в общем случае комплексные функции. Например, собственные функции оператора импульса:
$$ \hat{p} = -i\hbar \frac{d}{dx} $$
имеют вид:
$$ \psi_p(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}} e^{ipx/\hbar}. $$
Эти функции не вещественны, и это отражает фундаментальное свойство импульса как генератора трансляций в квантовом пространстве состояний.
Классическое выражение для импульса p = mv не применяется напрямую в квантовой теории. Вместо этого оператор импульса в координатном представлении:
$$ \hat{p} = -i\hbar \frac{d}{dx} $$
включает мнимую единицу. Без неё невозможно обеспечить корректное согласование с фундаментальными уравнениями (например, коммутационные соотношения):
[x̂, p̂] = iℏ.
Это соотношение лежит в основе принципа неопределённости и фундаментальной нелокальности квантовых процессов. Оно доказывает необходимость комплексной структуры на уровне элементарных алгебраических операций в квантовом формализме.
Комплексные числа — не просто удобство, а необходимость при описании квантовых систем. Основные элементы квантовой теории:
Кроме того, симметрии квантовых систем — повороты, отражения, временная инверсия — часто выражаются через комплексные унитарные или антиунитарные операторы, действие которых невозможно описать в рамках вещественной алгебры.
Один из фундаментальных постулатов квантовой механики гласит: вся информация о системе содержится в её волновой функции, которая принадлежит гильбертову пространству над ℂ. Комплексная природа этой функции является не следствием, а исходным аксиоматическим положением.
Попытки построить аналогичную квантовую теорию на вещественном пространстве либо приводят к неполным результатам, либо требуют искусственного усложнения формализма.
Таким образом, комплексные числа не являются внешней надстройкой над квантовой механикой, а составляют её алгебраическое и геометрическое основание, на котором строится всё дальнейшее развитие теории.