Электромагнитное поле в классической теории описывается уравнениями Максвелла, в которых основными динамическими переменными выступают векторы электрического и магнитного полей, E(r, t) и B(r, t). Однако при переходе к квантовой теории поля становится необходимо отказаться от представления этих величин как непрерывных и ввести дискретизацию, соответствующую квантовой природе поля.
Для перехода к квантовому описанию электромагнитного поля необходимо сначала переписать классическую теорию в гамильтоновом формализме. Введем 4-потенциал Aμ = (ϕ, A), где ϕ — скалярный потенциал, A — векторный потенциал. Тогда компоненты электрического и магнитного полей выражаются через потенциалы как:
$$ \mathbf{E} = -\nabla \phi - \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}, \quad \mathbf{B} = \nabla \times \mathbf{A}. $$
С лагранжианом
$$ \mathcal{L} = -\frac{1}{4} F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}, \quad F_{\mu\nu} = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu, $$
можно получить уравнения Максвелла как уравнения Эйлера–Лагранжа. Однако лагранжиан инвариантен относительно калибровочных преобразований:
Aμ → Aμ + ∂μΛ,
что означает наличие избыточных степеней свободы.
Для квантования поля необходимо устранить неопределенность, вызванную калибровочной инвариантностью. Наиболее часто используется калибровка Лоренца:
∂μAμ = 0.
При этом лагранжиан можно модифицировать введением дополнительного слагаемого:
$$ \mathcal{L}' = \mathcal{L} - \frac{1}{2} (\partial_\mu A^\mu)^2, $$
что упрощает уравнения движения и делает их пригодными для построения гамильтониана.
Тем не менее для явного квантования наиболее удобна калибровка Кулона (радиационная калибровка), при которой:
ϕ = 0, ∇ ⋅ A = 0.
В этой калибровке сохраняются только поперечные компоненты векторного потенциала, отвечающие за физически наблюдаемые степени свободы.
Пусть электромагнитное поле заключено в прямоугольный объём объёма V = L3 с периодическими граничными условиями. Тогда векторный потенциал можно разложить в ряд Фурье по модам:
A(r, t) = ∑k, λ(ak, λ(t) ϵk, λeik ⋅ r + ak, λ*(t) ϵk, λ*e−ik ⋅ r),
где ϵk, λ — поляризационные векторы, ортонормированные и поперечные (k ⋅ ϵk, λ = 0), а λ = 1, 2 — индексы поляризации.
Таким образом, каждая мода (k, λ) аналогична гармоническому осциллятору с координатой qk, λ(t), связанной с ak, λ(t), и энергией ωk = |k|.
Переходя к квантовой теории, мы интерпретируем амплитуды ak, λ как операторы уничтожения, а ak, λ* — как операторы рождения. Тогда выполняются канонические коммутационные соотношения:
[âk, λ, âk′, λ′†] = δk, k′δλ, λ′, [âk, λ, âk′, λ′] = 0.
Гамильтониан поля принимает вид:
$$ \hat{H} = \sum_{\mathbf{k}, \lambda} \hbar \omega_k \left( \hat{a}^\dagger_{\mathbf{k}, \lambda} \hat{a}_{\mathbf{k}, \lambda} + \frac{1}{2} \right), $$
что есть сумма гамильтонианов независимых квантовых осцилляторов. Каждый квант возбуждения с энергией ℏωk и импульсом ℏk соответствует фотону — квантовому возбуждению электромагнитного поля.
Фотон, как квант электромагнитного поля, не имеет массы, обладает спином 1, но из-за калибровочной инвариантности допустимы только два поперечных состояния поляризации. Следовательно, в пространстве состояний реализуются только два физических состояния на моду.
Векторный потенциал в квантовой теории становится оператором:
$$ \hat{\mathbf{A}}(\mathbf{r}, t) = \sum_{\mathbf{k}, \lambda} \sqrt{\frac{\hbar}{2\epsilon_0 \omega_k V}} \left( \hat{a}_{\mathbf{k}, \lambda} \boldsymbol{\epsilon}_{\mathbf{k}, \lambda} e^{i(\mathbf{k} \cdot \mathbf{r} - \omega_k t)} + \hat{a}^\dagger_{\mathbf{k}, \lambda} \boldsymbol{\epsilon}^*_{\mathbf{k}, \lambda} e^{-i(\mathbf{k} \cdot \mathbf{r} - \omega_k t)} \right). $$
Оператор электрического поля тогда выражается через производную по времени:
$$ \hat{\mathbf{E}}(\mathbf{r}, t) = - \frac{\partial \hat{\mathbf{A}}}{\partial t}. $$
Операторы поля подчиняются коммутационным соотношениям:
[Êi(r, t), B̂j(r′, t)] = −iℏϵijk∇kδ(r − r′),
что согласуется с квантовой теорией поля.
Состояния поля формируются из вакуума |0⟩ путём применения операторов рождения:
|k1, λ1; …; kn, λn⟩ = âk1, λ1†⋯âkn, λn†|0⟩.
Такие состояния описывают системы из n не взаимодействующих фотонов, каждая из которых характеризуется импульсом ki и поляризацией λi.
Все возможные суперпозиции таких состояний образуют Фоковское пространство — гильбертово пространство состояний квантованного электромагнитного поля.
Взаимодействие электромагнитного поля с заряженными частицами описывается в рамках квантовой электродинамики (КЭД). Основное взаимодействие задается с помощью лагранжиана Дирака с минимальным сопряжением:
$$ \mathcal{L} = \bar{\psi}(i\hbar \gamma^\mu D_\mu - mc)\psi - \frac{1}{4} F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}, \quad D_\mu = \partial_\mu + i\frac{e}{\hbar c} A_\mu. $$
Квантование такой теории проводится методами квантовой теории поля с применением диаграмм Фейнмана, регуляризации и ренормализации. Фотон выступает переносчиком электромагнитного взаимодействия, а его виртуальные обмены описывают силу Кулона и процессы рассеяния.
Квантовая теория электромагнитного поля инвариантна относительно локальных калибровочных преобразований:
$$ \psi(x) \rightarrow e^{i\alpha(x)} \psi(x), \quad A_\mu(x) \rightarrow A_\mu(x) - \frac{1}{e} \partial_\mu \alpha(x). $$
Это фундаментальное свойство лежит в основе всех современных теорий взаимодействий — электрослабого и сильного — и обобщается до неабелевых калибровочных симметрий.
Квантование электромагнитного поля лежит в основе широкого круга физических явлений:
Таким образом, квантование электромагнитного поля представляет собой не только математически строгое обобщение классической теории, но и фундаментальный инструмент описания природы на глубинном уровне.