Гармонический осциллятор является одной из основных моделей, используемых для описания множества физических систем, таких как колебания атомов в твердых телах, молекулярные вибрации, а также движение частиц в потенциальной яме. В классической механике решение задачи о гармоническом осцилляторе приводит к простому синусоидальному движению с постоянной амплитудой и частотой. Однако квантование этих колебаний в рамках квантовой механики приводит к ряду интересных и важных следствий, которые значительно отличаются от классического поведения.
Возможности описания гармонического осциллятора в квантовой механике непосредственно связаны с математической формой его потенциальной энергии. Для гармонического осциллятора потенциал имеет вид:
$$ V(x) = \frac{1}{2}m\omega^2 x^2 $$
где m — масса частицы, ω — угловая частота колебаний, x — положение частицы.
Этот потенциал характеризуется симметрией, где частица стремится вернуться в равновесное положение (при x = 0), и сила, действующая на частицу, пропорциональна отклонению от этого положения. Это классическое описание также остается актуальным в квантовой механике, однако на микроскопическом уровне вступают в силу принципы, о которых расскажем далее.
Для описания динамики квантованного гармонического осциллятора используется уравнение Шредингера. В одномерной постановке оно имеет вид:
$$ -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2 \psi(x)}{dx^2} + V(x)\psi(x) = E\psi(x) $$
где ℏ — редуцированная постоянная Планка, ψ(x) — волновая функция, E — энергия состояния системы.
Подставив выражение для потенциальной энергии V(x), уравнение для гармонического осциллятора примет вид:
$$ -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2 \psi(x)}{dx^2} + \frac{1}{2} m\omega^2 x^2 \psi(x) = E\psi(x) $$
Это уравнение является стандартной задачей в квантовой механике, решение которой приводит к волновым функциям и уровням энергии, которые отличаются от классических решений.
Одним из основных отличий квантовой механики от классической теории является то, что энергия гармонического осциллятора в квантовой механике не может принимать произвольные значения, а квантована. Решение уравнения Шредингера для гармонического осциллятора приводит к дискретным значениям энергии, которые могут быть записаны как:
$$ E_n = \left(n + \frac{1}{2}\right)\hbar\omega, \quad n = 0, 1, 2, \dots $$
Таким образом, энергия осциллятора имеет минимальное значение, которое равно $E_0 = \frac{1}{2} \hbar \omega$ — это так называемая нулевая энергия, или энергия основного состояния, что в корне отличается от классической механики, где энергия может быть любой.
Волновые функции ψn(x), соответствующие этим уровням энергии, представляют собой решения уравнения Шредингера. Они могут быть выражены через полиномы Лагерра Ln и гауссовую функцию. Общий вид волновых функций для гармонического осциллятора:
$$ \psi_n(x) = N_n \, H_n\left(\sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}} x\right) \exp\left(-\frac{m\omega}{2\hbar} x^2\right) $$
где Hn — полиномы Эрмита, Nn — нормировочная константа, зависящая от n.
Полиномы Эрмита Hn(x) являются полиномами Лагерра, которые для n = 0, 1, 2, … описывают решения задачи с соответствующими квантовыми числами.
Квантование энергии гармонического осциллятора имеет несколько важных физически значимых последствий:
Нулевая энергия. В отличие от классического осциллятора, который может иметь нулевую кинетическую и потенциальную энергию (в моменте покоя), квантовый осциллятор всегда находится в состоянии с ненулевой энергией $\frac{1}{2} \hbar \omega$, даже в своем основном состоянии.
Дискретность энергии. Квантование приводит к тому, что энергия осциллятора может изменяться только на фиксированные значения ℏω. Это означает, что система может переходить только с одного уровня энергии на другой, что имеет важное значение для явлений, таких как излучение и поглощение света в атомах и молекулах.
Формирование спектра. В системах, где участвует квантование энергии, например, в молекулах, электромагнитное излучение между уровнями энергии может приводить к спектральным линиям. Эти спектры являются важным инструментом в химии и физике для изучения свойств материи.
Для более удобного описания состояния гармонического осциллятора в квантовой механике часто используются операторы рождения a† и уничтожения a, которые действуют на состояние частицы, изменяя её квантовое число n. Эти операторы определяются следующим образом:
$$ a^\dagger = \sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}} \left( x - \frac{ip}{m\omega} \right), \quad a = \sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}} \left( x + \frac{ip}{m\omega} \right) $$
где p — оператор импульса, x — оператор положения. Операторы a† и a удовлетворяют коммутатору:
[a, a†] = 1
Операторы a† и a позволяют выразить гамильтониан системы в следующем виде:
$$ H = \hbar \omega \left( a^\dagger a + \frac{1}{2} \right) $$
Используя эти операторы, можно выразить волновые функции и уровни энергии, а также рассматривать переходы между различными состояниями.
Квантование гармонического осциллятора демонстрирует, как классическое описание приводит к дискретизации энергии в квантовой механике. Это основополагающее явление лежит в основе множества физических процессов, включая атомные и молекулярные переходы, и имеет широкое применение в различных областях науки и техники, от спектроскопии до теории поля.