Линейная алгебра в квантовой механике

Векторы состояний и гильбертово пространство

Квантовая механика формализована в терминах линейной алгебры, где состояние физической системы описывается вектором в комплексном гильбертовом пространстве — полным линейным пространством с внутренним произведением. Пусть ℋ — гильбертово пространство. Вектор состояния обозначается |ψ⟩ (в так называемой бра-кет нотации Дирака) и может быть представлен в виде линейной комбинации ортонормированного базиса:

|ψ⟩ = ∑_nc_n|e_n⟩, c_n ∈ ℂ

где {|e_n⟩} — ортонормированный базис ℋ, удовлетворяющий:

⟨e_m|e_n⟩ = δ_mn

Норма вектора состояния равна единице: ⟨ψ|ψ⟩ = 1, что отражает полную вероятность обнаружения системы в каком-либо состоянии.

Линейные операторы и наблюдаемые

Физические величины в квантовой механике описываются линейными эрмитовыми операторами, действующими на ℋ. Линейный оператор Â удовлетворяет:

Â(a|ψ⟩ + b|ϕ⟩) = aÂ|ψ⟩ + bÂ|ϕ⟩, a, b ∈ ℂ

Если Â = Â^†, то Â — эрмитов оператор (наблюдаемая), и его собственные значения a_n действительны, а собственные векторы |a_n⟩ формируют ортонормированный базис:

Â|a_n⟩ = a_n|a_n⟩

Результаты измерений наблюдаемых соответствуют собственным значениям операторов. Вероятность получить результат a_n при измерении в состоянии |ψ⟩ равна |⟨a_n|ψ⟩|².

Скалярное произведение и проекторы

Скалярное произведение ⟨ϕ|ψ⟩ задаёт амплитуду перехода из состояния |ψ⟩ в состояние |ϕ⟩. Оно удовлетворяет свойствам:

$\langle \psi | \phi \rangle = \overline{\langle \phi | \psi \rangle}$
Линейность по второму аргументу, антилинейность по первому
⟨ψ|ψ⟩ ≥ 0, и равенство достигается только при |ψ⟩ = 0

Проектор на состояние |ϕ⟩ определяется как оператор:

P̂_ϕ = |ϕ⟩⟨ϕ|

Проекторы играют важную роль в постулатах измерения: вероятность обнаружить систему в состоянии |ϕ⟩ при её подготовке в состоянии |ψ⟩ есть ⟨ψ|P̂_ϕ|ψ⟩ = |⟨ϕ|ψ⟩|².

Матрицы и представления операторов

Выбор базиса в ℋ позволяет перейти от абстрактных операторов к их матричному представлению. Пусть {|e_n⟩} — ортонормированный базис. Тогда:

Вектор состояния |ψ⟩ задаётся столбцом: ψ = (c₁, c₂, …)^T
Оператор Â представлен матрицей A_mn = ⟨e_m|Â|e_n⟩

Применение оператора к вектору реализуется как умножение матрицы на вектор:

Â|ψ⟩ ↔︎ A ⋅ ψ

Эрмитовость оператора Â означает, что его матрица A удовлетворяет A^† = A, то есть $A_{mn} = \overline{A_{nm}}$.

Коммутаторы и сопряжённые операторы

Важнейшая операция в квантовой механике — коммутатор:

[Â, B̂] = ÂB̂ − B̂Â

Коммутатор двух эрмитовых операторов, вообще говоря, не является эрмитовым. Ненулевая величина [Â, B̂] ≠ 0 означает, что операторы Â и B̂ некоммутируют, и соответствующие наблюдаемые не могут быть измерены одновременно с произвольной точностью. Это лежит в основе соотношения неопределённости Гейзенберга.

Собственные значения и спектральная теорема

Спектральная теорема утверждает, что любой эрмитов оператор Â обладает полным набором собственных векторов |a_n⟩, и может быть разложен в виде:

Â = ∑_na_n|a_n⟩⟨a_n|

В случае непрерывного спектра используется интегральная форма:

Â = ∫a |a⟩⟨a| da

Это разложение фундаментально для понимания измерений и эволюции в квантовой теории.

Унитарные операторы и квантовая эволюция

Унитарные операторы Û удовлетворяют:

Û^†Û = ÛÛ^† = Î

Они описывают обратимые преобразования состояний и сохраняют норму: ⟨ψ|ψ⟩ = ⟨Ûψ|Ûψ⟩. Временная эволюция квантовой системы задаётся унитарным оператором эволюции:

|ψ(t)⟩ = Û(t)|ψ(0)⟩, Û(t) = e^−iĤt/ℏ

где Ĥ — гамильтониан системы, эрмитов оператор полной энергии.

Тензорные произведения и составные системы

Состояния составных квантовых систем описываются тензорными произведениями гильбертовых пространств. Если ℋ₁ и ℋ₂ — пространства двух подсистем, то полное пространство:

ℋ = ℋ₁ ⊗ ℋ₂

Состояние |Ψ⟩ ∈ ℋ может быть:

Сепарабельным: |Ψ⟩=|ψ₁⟩ ⊗ |ψ₂⟩
Запутанным (энтанглированным): неразложимым в виде произведения

Линейная алгебра тензорных произведений используется для описания коррелированных состояний, таких как в парадоксе Эйнштейна–Подольского–Розена и теореме Белла.

След оператора и плотностные матрицы

Для квантовых систем с неопределённым состоянием вводится понятие плотностного оператора ρ̂, который описывает как чистые, так и смешанные состояния:

ρ̂ = ∑_ip_i|ψ_i⟩⟨ψ_i|, p_i ≥ 0, ∑_ip_i = 1

Плотностный оператор удовлетворяет:

ρ̂ = ρ̂^†
Tr(ρ̂) = 1
ρ̂² = ρ̂ (только для чистых состояний)

Среднее значение наблюдаемой Â в состоянии ρ̂ определяется через:

⟨Â⟩ = Tr(ρ̂Â)

Ортогональность, полнота и дельта-функция

Для непрерывных спектров базисные состояния |x⟩ или |p⟩ удовлетворяют условиям ортогональности и полноты:

⟨x|x′⟩ = δ(x − x′), ∫|x⟩⟨x|dx = Î

Это требует обращения к элементам функционального анализа и обобщённых функций. Представление волновых функций ψ(x) = ⟨x|ψ⟩ следует из этого формализма.

Соотношение неопределённости и линейные операторы

Соотношение неопределённости Гейзенберга возникает из коммутаторной структуры:

$$ \Delta A \cdot \Delta B \geq \frac{1}{2} |\langle [\hat{A}, \hat{B}] \rangle| $$

где $\Delta A = \sqrt{\langle \hat{A}^2 \rangle - \langle \hat{A} \rangle^2}$. Для координаты и импульса:

$$ [\hat{x}, \hat{p}] = i\hbar \Rightarrow \Delta x \cdot \Delta p \geq \frac{\hbar}{2} $$

Это фундаментальное ограничение на точность одновременного знания определённых физических величин.

Связь с собственными разложениями матриц

Матричные представления операторов позволяют применять линейную алгебру: диагонализация, сингулярное разложение, спектральные методы. В квантовой механике это означает переход в базис собственных состояний наблюдаемой. Матрицы наблюдаемых являются эрмитовыми, а унитарные преобразования сохраняют скалярные произведения, обеспечивая физическую эквивалентность различных представлений.