Метод вариации с учетом базовых функций (ВКБ) является одним из мощных инструментов, используемых в квантовой механике для нахождения приближенных решений уравнений Шрёдингера. Этот метод особенно полезен в тех случаях, когда точные решения невозможно найти из-за сложности потенциалов или формы волновых функций. В рамках ВКБ мы используем вариационный принцип, который основывается на минимизации энергии системы, приближая её к истинному значению.
Метод вариации включает использование приближенной волновой функции, которая зависит от некоторого набора параметров. Применение вариационного принципа предполагает, что для любых произвольных функций волновой функции ψapprox значение энергии, полученное из оператора Гамильтона, будет выше или равно истинной энергии.
Суть вариационного принципа заключается в том, что для системы с гамильтонианом Ĥ и некоторой волновой функцией ψ истинное собственное значение энергии E0 системы удовлетворяет неравенству:
E0 ≤ ⟨ψ|Ĥ|ψ⟩
где ⟨ψ|Ĥ|ψ⟩ — это математическое ожидание энергии в выбранной волновой функции ψ. Задача состоит в том, чтобы минимизировать это значение по параметрам, определяющим форму ψapprox.
Для применения вариационного метода необходимо представить волновую функцию в виде линейной комбинации базисных функций, например, ψapprox = ∑iciϕi, где ϕi — базисные функции, а ci — коэффициенты, которые мы будем определять. Таким образом, задача сводится к минимизации энергии по этим коэффициентам.
Энергия в этом подходе может быть выражена как функционал, зависимый от коэффициентов:
$$ E(c_1, c_2, \dots, c_n) = \frac{\langle \psi_{\text{approx}} | \hat{H} | \psi_{\text{approx}} \rangle}{\langle \psi_{\text{approx}} | \psi_{\text{approx}} \rangle} $$
Минимизация этого функционала по коэффициентам даёт приближённое значение энергии и приближённую форму волновой функции. В случае конкретных задач, базис может быть выбран так, чтобы учесть особенности взаимодействий или симметрию системы.
Рассмотрим использование метода ВКБ для атома водорода. В этом случае волновая функция атома водорода ψ(r) может быть представлена через линейную комбинацию радиальных функций, например:
ψ(r) = c1 ⋅ ϕ1(r) + c2 ⋅ ϕ2(r)
где ϕ1(r) и ϕ2(r) — это радиальные базисные функции, подходящие для атома водорода. При подстановке этой волновой функции в уравнение для энергии мы получим выражение для энергии системы в зависимости от коэффициентов c1 и c2. Минимизация этого выражения позволит нам найти наилучшее приближенное значение энергии.
Рассмотрим операторы кинетической энергии T̂ и потенциала V̂ для атома водорода:
$$ \hat{T} = -\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 $$
$$ \hat{V} = -\frac{e^2}{4\pi \epsilon_0 r} $$
Энергия атома водорода будет определяться оператором Гамильтона Ĥ = T̂ + V̂. Для упрощения задачи предположим, что используемые базисные функции уже соответствуют орбитальным функциям атома водорода. Тогда энергия будет зависеть от выборки базиса, а точность вычислений увеличится с увеличением числа функций в сумме.
Метод ВКБ имеет ряд преимуществ, среди которых стоит отметить:
Однако есть и недостатки:
Существуют различные модификации метода ВКБ, направленные на повышение точности или уменьшение вычислительных затрат:
Метод вариации с учетом базовых функций является мощным инструментом для нахождения приближенных решений в квантовой механике. Он позволяет эффективно решать задачи, которые невозможно решить аналитически, и является основой для более сложных численных методов.