Минимальная связь играет ключевую роль в квантовой механике, особенно при описании взаимодействия частиц с электромагнитным полем. Эта концепция имеет фундаментальное значение при построении моделей для систем, в которых учитываются взаимодействия с внешними полями, а также при решении уравнений Шредингера в присутствии таких полей.
Принцип минимальной связи заключается в том, что взаимодействие между заряженной частицей и внешним электромагнитным полем может быть представлено через минимизацию действия в лагранжевом или гамильтоновом формализме. В классической механике взаимодействие частиц с электромагнитным полем описывается через Лагранжиан:
$$ L = \frac{m}{2} \dot{\vec{r}}^2 - q\vec{A}(\vec{r}, t) \cdot \dot{\vec{r}} - q\phi(\vec{r}, t) $$
где m — масса частицы, $\dot{\vec{r}}$ — ее скорость, q — заряд, A⃗(r⃗, t) — векторный потенциал, ϕ(r⃗, t) — скалярный потенциал, а r⃗ — положение частицы.
Квантовомеханическое описание взаимодействия частиц с полем начинается с того, что классическая скорость в уравнении Лагранжа заменяется на оператор импульса. В квантовой механике это реализуется через принцип минимальной связи, где классическая скорость $\dot{\vec{r}}$ преобразуется в оператор импульса, включающий взаимодействие с электромагнитным полем.
Гамильтоновый подход в квантовой механике также требует введения минимальной связи для описания взаимодействия с внешним полем. В случае, когда частица взаимодействует с электромагнитным полем, гамильтониан системы принимает вид:
$$ H = \frac{1}{2m} \left( \vec{p} - q\vec{A}(\vec{r}, t) \right)^2 + q\phi(\vec{r}, t) $$
Здесь p⃗ — оператор импульса, A⃗(r⃗, t) и ϕ(r⃗, t) — векторный и скалярный потенциалы. Минимальная связь заключается в том, что импульс p⃗ в гамильтоновом операторе заменяется на p⃗ − qA⃗(r⃗, t), что отражает взаимодействие заряженной частицы с электромагнитным полем.
В квантовой механике частица взаимодействует с электромагнитным полем через электромагнитные потенциалы. Векторный и скалярный потенциалы A⃗(r⃗, t) и ϕ(r⃗, t) играют роль в описании электромагнитного поля. Эти потенциалы связаны с электрическим и магнитным полями через следующие уравнения:
$$ \vec{E} = - \nabla \phi - \frac{\partial \vec{A}}{\partial t}, \quad \vec{B} = \nabla \times \vec{A} $$
Заменив классический импульс на оператор p⃗ − qA⃗(r⃗, t) в гамильтониане, мы учитываем взаимодействие частицы с электромагнитным полем в квантовом механическом контексте.
Влияние минимальной связи можно проиллюстрировать на примере движения частицы в однородном магнитном поле. Для заряженной частицы в таком поле с помощью минимальной связи мы можем описать её движение с помощью модифицированного гамильтониана. Это приводит к изменению спектра энергии частицы в магнитном поле.
Рассмотрим гамильтониан частицы в магнитном поле, заданном векторным потенциалом A⃗:
$$ H = \frac{1}{2m} \left( \vec{p} - q\vec{A}(\vec{r}, t) \right)^2 $$
Решение этого уравнения приводит к тому, что энергия частицы в магнитном поле приобретает особенности, связанные с квантованием магнитного потока и эффектами, подобными эффекту Ааронова-Бома. Эти квантовые эффекты являются следствием минимальной связи и играют важную роль в теоретических и экспериментальных исследованиях в области квантовой механики.
Возьмем частицу с зарядом q и массой m, находящуюся в однородном магнитном поле. Векторный потенциал для постоянного магнитного поля B⃗ может быть записан как $\vec{A} = \frac{B}{2}(-y, x, 0)$. Тогда гамильтониан частицы, взаимодействующей с магнитным полем, будет иметь вид:
$$ H = \frac{1}{2m} \left( \vec{p} + \frac{q}{2}(-y, x, 0) \right)^2 $$
Решая уравнение Шредингера с этим гамильтонианом, мы получаем дискретные уровни энергии, которые зависят от магнитного потока, что является квантовым эффектом минимальной связи.
В квантовой теории поля минимальная связь имеет аналогичное значение. Для описания взаимодействий между частицами и электромагнитным полем в контексте квантовой электродинамики (КЭД) используется принцип минимальной связи. Электрон и фотон взаимодействуют через их обмен, и это взаимодействие описывается через лагранжиан КЭД, который включает минимальную связь для заряженных частиц.
Лагранжиан для квантованного поля имеет вид:
ℒ = ψ̄(iγμ∂μ − m)ψ − qψ̄γμψAμ
где ψ — фермионное поле (например, электрон), Aμ — векторное поле для фотона, а γμ — матрицы Дирака. В этом выражении минимальная связь проявляется в том, что взаимодействие фермиона с фотоном описывается через гамильтониан, включающий взаимодействие поля и заряженной частицы, что в свою очередь описывает квантовое электромагнитное взаимодействие.
Минимальная связь является важнейшим инструментом для описания взаимодействия частиц с внешними электромагнитными полями в квантовой механике. Этот принцип лежит в основе многих фундаментальных теорий, включая квантовую электродинамику и теорию поля, и предоставляет мощный механизм для понимания различных квантовых эффектов, таких как магнетизм, эффекты в магнитном поле и квантование энергии.