Постулаты квантовой механики являются основой всей теории и представляют собой набор принципов, которые описывают физическую реальность на уровне микрочастиц. Эти постулаты устанавливают основные правила, согласно которым происходит взаимодействие частиц и их измерение, и лежат в основе математической формализации квантовой механики.
Каждая физическая система в квантовой механике описывается состоянием, которое представляется в виде векторного состояния в гильбертовом пространстве. Это пространство является абстракцией, где каждое возможное состояние системы можно представить в виде вектора. Векторное состояние можно записать как:
|ψ⟩
где |ψ⟩ — это состояние системы. В квантовой механике, в отличие от классической физики, состояние системы не всегда определено однозначно, и существует вероятность нахождения системы в разных состояниях.
Состояния могут быть как нормированными, так и нормированными. Нормированное состояние означает, что его скалярное произведение с самим собой равно 1:
⟨ψ|ψ⟩ = 1
Для физической системы может быть представлено не одно состояние, а множество возможных, образующих пространство состояний.
Основное место в квантовой механике занимают операторы, которые описывают физические величины, такие как импульс, энергия, положение и т.д. Операторы действуют на вектор состояния и изменяют его.
Каждой физической величине в квантовой механике соответствует самосопряженный оператор, то есть оператор, который равен своему сопряженному в транслированной форме:
 = †
где  — это оператор, а † — его сопряженный оператор.
Для каждой физической величины существует свой оператор. Например, оператор положения x̂ и оператор импульса p̂ связаны известным коммутатором:
[x̂, p̂] = iℏ
где ℏ — это редуцированная постоянная Планка.
Операторы играют важную роль в описании наблюдаемых величин, таких как энергия и импульс, и могут быть использованы для вычисления вероятностей различных результатов измерений.
Один из важнейших принципов квантовой механики — это принцип суперпозиции. Этот принцип утверждает, что если система может находиться в нескольких состояниях |ψ1⟩ и |ψ2⟩, то она также может находиться в их линейной суперпозиции, то есть в состоянии:
|ψ⟩ = c1|ψ1⟩ + c2|ψ2⟩
где c1 и c2 — комплексные числа, которые называются амплитудами вероятности для каждого состояния. Важно заметить, что вероятность нахождения системы в одном из состояний зависит от квадрата амплитуды:
P(ψ1) = |c1|2, P(ψ2) = |c2|2
Этот принцип приводит к явлению интерференции, которое наблюдается, например, в опытах с двумя щелями, когда частица может проходить через обе щели одновременно.
Принцип неопределенности Гейзенберга является одним из важнейших аспектов квантовой механики. Согласно этому принципу, невозможно точно измерить одновременно некоторые пары наблюдаемых величин, например, импульс и положение.
Для положения x и импульса p существует соотношение неопределенности:
$$ \Delta x \cdot \Delta p \geq \frac{\hbar}{2} $$
где Δx и Δp — неопределенности в измерениях положения и импульса соответственно.
Этот принцип лежит в основе квантовых флуктуаций, которые нельзя игнорировать на микроскопическом уровне. Он также объясняет многие явления, например, квантовые колебания поля.
Вероятности, связанные с результатами измерений, должны сохраняться. Это означает, что сумма вероятностей всех возможных исходов измерения для любого физического процесса равна 1. Например, если система может быть в одном из состояний |ψ1⟩ или |ψ2⟩, то суммарная вероятность для этих состояний должна быть единицей:
P(ψ1) + P(ψ2) = 1
Это требование гарантирует, что все возможные результаты измерения учтены и их вероятности в сумме составляют 100%.
В квантовой механике эволюция состояний системы описывается с помощью оператора эволюции, который зависит от времени. Это описывается уравнением Шрёдингера:
$$ i\hbar \frac{\partial}{\partial t} |\psi(t)\rangle = \hat{H} |\psi(t)\rangle $$
где Ĥ — гамильтониан системы (оператор энергии). Это уравнение описывает как состояние системы изменяется во времени, если на систему не действуют внешние силы.
Решение этого уравнения позволяет вычислить состояние системы в любой момент времени, если известно начальное состояние.
Измерения в квантовой механике описываются с использованием теоремы о измерениях. Когда мы измеряем наблюдаемую величину, система “коллапсирует” в одно из собственных состояний оператора, соответствующего измеряемой величине.
Процесс измерения можно описать так:
Этот процесс ведет к вероятностному характеру результатов измерений и отличает квантовую механику от классической физики.
Постулаты квантовой механики формируют основу для понимания микроскопических явлений, которые не могут быть описаны классическими методами. Они открывают окно в мир, где действуют принципы неопределенности, суперпозиции состояний и вероятностных процессов, что позволяет объяснить такие феномены, как интерференция, туннелирование и квантовые флуктуации.