В квантовой механике рассеяние является одним из важнейших процессов, играющих ключевую роль в описании взаимодействия частиц с внешними полями. Одним из основных подходов к описанию рассеяния является использование различных моделей потенциалов, которые описывают взаимодействие частицы с окружающей средой. В этой главе рассмотрим теоретические основы рассеяния на потенциалах различных форм, такие как однообразные потенциалы, потенциалы с кратковременным воздействием и более сложные структуры, как потенциалы типа “барьер” и “яма”. Рассмотрим также, как эти модели влияют на параметры рассеяния, такие как амплитуда и сечение.
Рассеяние — это процесс, при котором частица взаимодействует с внешним полем или объектом и изменяет свой путь. В квантовой механике этот процесс описывается через волновые функции и амплитуды рассеяния, которые, в свою очередь, связаны с вероятностью различных исходов рассеяния. Для описания рассеяния используют оператор Гамильтона, который состоит из кинетической и потенциальной энергии.
Математически, в одночастичной системе с потенциалом V(x) решение уравнения Шрёдингера для свободной частицы можно записать как суперпозицию плоских волн:
ψ(x) = Aeikx + Be−ikx
где k — волновое число, A и B — амплитуды падающей и отраженной волн, соответственно. В случае взаимодействия с потенциалом V(x), решение уравнения Шрёдингера изменяется, и волновая функция будет включать дополнительные компоненты, отражающие рассеяние.
Одним из простейших примеров потенциала для анализа рассеяния является потенциал “ямы” и “барьера”. Рассмотрим потенциальную яму, которая может быть представлена как:
$$ V(x) = \begin{cases} -V_0, & \text{если } |x| < a \\ 0, & \text{если } |x| \geq a \end{cases} $$
где V0 — глубина ямы, а 2a — её ширина. Этот потенциал представляет собой область, где частица испытывает притяжение, а за пределами этой области частица движется свободно. Такой потенциал используется для моделирования взаимодействий в молекулах и атомах, где частицы могут быть связаны в ограниченных областях пространства.
Решение уравнения Шрёдингера в области |x| ≥ a:
В области |x| ≥ a, где потенциал V(x) = 0, решение уравнения Шрёдингера будет иметь вид:
ψ(x) = Aeikx + Be−ikx
где $k = \frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}$, и E — энергия частицы. Однако внутри ямы, где V(x) = −V0, волновая функция будет модифицирована.
Решение внутри ямы |x| < a:
В области, где |x| < a, волновая функция будет иметь вид:
ψ(x) = Ceκx + De−κx
где $\kappa = \frac{\sqrt{2m(E + V_0)}}{\hbar}$ и E + V0 > 0, что гарантирует экспоненциальное затухание волн. Условия непрерывности волновой функции и её производной позволяют найти коэффициенты A, B, C, D и рассчитать вероятность рассеяния.
Рассмотрение барьерного потенциала:
Для потенциала барьера можно использовать следующую модель:
$$ V(x) = \begin{cases} V_0, & \text{если } |x| < a \\ 0, & \text{если } |x| \geq a \end{cases} $$
В данном случае частица сталкивается с потенциальным барьером и может либо пройти его, либо быть отражена. Амплитуда отражения и пропускания определяются через коэффициенты R и T, которые связаны с вероятностями отражения и пропускания через барьер:
R = |B/A|2, T = |D/A|2
где A и B — амплитуды, соответствующие падающей и отражённой волне, а D — амплитуда, соответствующая волне, прошедшей через барьер.
Асимптотическое поведение волновой функции имеет важное значение для определения вероятности рассеяния, так как оно позволяет вычислить амплитуды рассеяния и сечение. На бесконечности волновая функция обычно стремится к выражению:
$$ \psi(x) \sim \frac{1}{\sqrt{k}} e^{ikx} + \frac{1}{\sqrt{k}} e^{-ikx} $$
где в выражении для амплитуды волна, прошедшая через барьер, рассматривается как суперпозиция падающих и отражённых волн. Взаимосвязь этих амплитуд даёт нам информацию о вероятности прохождения через барьер или отражения.
Для практических вычислений важно понимать математическую модель, которая связывает параметры энергии и амплитуды волновых функций с наблюдаемыми величинами, такими как дифференциальное и полное сечение рассеяния. Одним из основных инструментов для этого является использование матрицы рассеяния, которая в случае потенциального барьера может быть выражена как:
$$ S = \begin{pmatrix} t & r \\ r^* & t^* \end{pmatrix} $$
где r — коэффициент отражения, t — коэффициент пропускания, а r* и t* — их комплексные сопряжённые величины. Эти элементы матрицы позволяют рассчитать амплитуду и вероятность рассеяния на определённом потенциале.
Более сложные формы потенциалов, такие как синусоидальные или экспоненциальные, могут также быть использованы для моделирования различных типов взаимодействий. Для таких случаев решение уравнения Шрёдингера часто требует численных методов, например, метода конечных разностей или метода вариаций. Сложные потенциалы также могут приводить к интересным явлениям, таким как туннелирование через барьер или интерференция волн.
В заключение можно отметить, что рассеяние на различных формах потенциалов является ключевым аспектом квантовой механики, которое находит применение в широком круге физический задач, от атомной и молекулярной физики до квантовой теории поля и нанотехнологий.